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9.2 Produits infinis de fonctions holomorphes
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Théorème 9.2.5. Soient U un ouvert de C et (f n ) n une suite de fonctions holomorphes dans U . On suppose que le produit infini
f n converge absolument uniformément sur tout compact de U . Alors :
(i) La fonction
f =
∞
n=0
f n
est holomorphe sur U .
(ii) Pour tout p ∈ N, on a :
f = f 0 f 1 · · · f p
∞
n=p+1
f n .
(iii) Pour toute permutation σ de N, on a :
∞
n=0
f n =
∞
n=0
f σ(n) .
(iv) L’ensemble Z(f ) des zéros de f est la réunion des ensembles Z(f n ) des zéros de
f n . Si a ∈ Z(f ), son ordre comme zéro de f est la somme des ordres de a comme
zéro de chaque f n .
Démonstration. Le point (i) est clair d’après 7.4.3 et 9.2.4, et (ii) résulte aussi de
9.2.4. Soit V un ouvert relativement compact de U . Il existe un entier N tel que, pour
n N , on ait pour z ∈ V :
f (z) = f 0 (z)f 1 (z) · · · f N (z) exp
∞
n=N +1
Log f n (z)
.
Alors, les zéros de f dans U sont ceux de f 0 , . . . , f N . D’où (iv).
De même, dans V , la série
nN +1 Log f n est absolument convergente, donc commutativement convergente (1.10.8). D’où facilement (iii).
Théorème 9.2.6. Soient U un ouvert de C et (f n ) n une suite de fonctions holomorphes dans U telle que le produit infini
f n converge absolument uniformément
(respectivement normalement) sur tout compact de U . Soit f =
∞
n=0 f n . Alors la
série de fonctions méromorphes
f
n
f n
converge uniformément (respectivement normalement) sur tout compact de U , et on a :
f
f
=
∞
n=0
f
n
f n
·
Démonstration. Soit V un ouvert relativement compact de U . La fonction
g N = exp
∞
n=N +1
Log f n
est définie et holomorphe dans V si N est assez grand, et vérifie f = f 0 f 1 . . . f N g N .