120
9 • Produits infinis
b) La série
| Log f n |, définie sur K pour n assez grand d’après a), converge
uniformément (respectivement normalement) sur K.
(ii) On dit que le produit infini
f n converge absolument uniformément (respectivement normalement) sur tout compact de U si, pour tout compact K de U ,
le produit infini
(f n |K) converge absolument uniformément (respectivement
normalement).
Proposition 9.2.3. Soient U un ouvert de C, K une partie de U , et (u n ) n une suite
d’éléments de H(U ). Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Le produit infini
(1 + u n ) converge absolument uniformément (respectivement
normalement) sur K.
(ii) La série
|u n | converge uniformément (respectivement normalement) sur K.
Démonstration. La fonction z →
Log(1 + z)
z
a une singularité illusoire en 0. Elle se
prolonge en une fonction f holomorphe et sans zéro dans D(0, 1). Par suite, il existe
C 1 , C 2 ∈ R ∗
+ tels que C 1 |f (z)| C 2 si 2|z| 1. Ainsi, si 2|z| 1 :
C 1 |z| | Log(1 + z)| C 2 |z|.
Les deux conditions impliquent que la suite (u n ) n converge uniformément vers 0 sur
K. Ainsi, il existe un entier N tel que, pour n N , on ait 2|u n (z)| 1 pour tout
z ∈ K. Par suite, si p N et z ∈ K et, en utilisant la notation de 7.4.1 :
C 1 u p K Log(1 + u p ) K C 2 u p K ,
C 1
∞
n=p
|u n (z)|
∞
n=p
| Log(1 + u n (z))| C 2
∞
n=p
|u n (z)|.
On a obtenu le résultat.
9.2.4. Soient U un ouvert de C et (f n ) n une suite de fonctions holomorphes dans
U telle que le produit infini
f n converge absolument uniformément (respectivement
normalement) sur tout compact de U . Notons P n = f 0 f 1 · · · f n .
Soit V un ouvert relativement compact de U tel que Log f n soit défini sur V pour
n N . Si n > N, il vient :
P n = f 0 f 1 · · · f N exp(Log f N +1 + · · · + Log f n ).
D’après l’hypothèse, la série
nN +1 Log f n converge uniformément sur V . On en
déduit que la suite (P n ) n converge uniformément sur V . On note
f = lim
n
P n =
∞
n=0
f n .
Sur V , on a :
f (z) = f 0 (z) · · · f N (z) exp
∞
n=N +1
Log f n (z)
.
9 • Produits infinis
b) La série
| Log f n |, définie sur K pour n assez grand d’après a), converge
uniformément (respectivement normalement) sur K.
(ii) On dit que le produit infini
f n converge absolument uniformément (respectivement normalement) sur tout compact de U si, pour tout compact K de U ,
le produit infini
(f n |K) converge absolument uniformément (respectivement
normalement).
Proposition 9.2.3. Soient U un ouvert de C, K une partie de U , et (u n ) n une suite
d’éléments de H(U ). Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Le produit infini
(1 + u n ) converge absolument uniformément (respectivement
normalement) sur K.
(ii) La série
|u n | converge uniformément (respectivement normalement) sur K.
Démonstration. La fonction z →
Log(1 + z)
z
a une singularité illusoire en 0. Elle se
prolonge en une fonction f holomorphe et sans zéro dans D(0, 1). Par suite, il existe
C 1 , C 2 ∈ R ∗
+ tels que C 1 |f (z)| C 2 si 2|z| 1. Ainsi, si 2|z| 1 :
C 1 |z| | Log(1 + z)| C 2 |z|.
Les deux conditions impliquent que la suite (u n ) n converge uniformément vers 0 sur
K. Ainsi, il existe un entier N tel que, pour n N , on ait 2|u n (z)| 1 pour tout
z ∈ K. Par suite, si p N et z ∈ K et, en utilisant la notation de 7.4.1 :
C 1 u p K Log(1 + u p ) K C 2 u p K ,
C 1
∞
n=p
|u n (z)|
∞
n=p
| Log(1 + u n (z))| C 2
∞
n=p
|u n (z)|.
On a obtenu le résultat.
9.2.4. Soient U un ouvert de C et (f n ) n une suite de fonctions holomorphes dans
U telle que le produit infini
f n converge absolument uniformément (respectivement
normalement) sur tout compact de U . Notons P n = f 0 f 1 · · · f n .
Soit V un ouvert relativement compact de U tel que Log f n soit défini sur V pour
n N . Si n > N, il vient :
P n = f 0 f 1 · · · f N exp(Log f N +1 + · · · + Log f n ).
D’après l’hypothèse, la série
nN +1 Log f n converge uniformément sur V . On en
déduit que la suite (P n ) n converge uniformément sur V . On note
f = lim
n
P n =
∞
n=0
f n .
Sur V , on a :
f (z) = f 0 (z) · · · f N (z) exp
∞
n=N +1
Log f n (z)
.