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9.2 Produits infinis de fonctions holomorphes
119
n, on a S n − λ = Log
exp(S n − λ)
+ 2iπk n , avec k n ∈ Z. D’autre part, comme
lim n exp(S n − λ) = 1 , on voit que :
lim
n
(S n − λ − 2iπk n ) = 0.
(2)
De Log u n = S n+1 − S n et (2), on déduit que la suite (k n+1 − k n ) n a pour limite 0.
Cette suite étant à valeurs entières, on voit alors qu’il existe un entier k tel que k n = k
pour n assez grand. D’où :
lim
n
S n = λ + 2ikπ.
On a obtenu le résultat.
Corollaire 9.1.10. Soit (u n ) n une suite de nombres complexes non nuls et de limite 1.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Le produit infini
u n est strictement convergent et commutativement convergent.
(ii) La série
Log u n est absolument convergente.
Si elles sont vérifiées, on dit que le produit infini est absolument convergent.
Démonstration. C’est immédiat d’après 1.10.8 et 9.1.9.
9.1.11. Le résultat suivant est une amélioration de 9.1.6.
Proposition. Soit (u n ) n une suite d’éléments de C\{−1} et de limite nulle. Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Le produit infini
(1 + u n ) est absolument convergent.
(ii) La série
u n est absolument convergente.
Démonstration. D’après 3.3.2 et 5.3.11, on a Log(1 + z) = z + O(z) au voisinage de
0. Par conséquent, il existe C 1 , C 2 ∈ R ∗
+ tels que C 1 |u n | | Log(1 + u n )| C 2 |u n |
pour n assez grand. La proposition résulte alors de 9.1.10.
9.2 PRODUITS INFINIS DE FONCTIONS HOLOMORPHES
9.2.1. Soient U un ouvert de C et (f n ) n une suite de fonctions holomorphes dans U .
On dit que le produit infini
f n est convergent dans U si la suite de fonctions holomorphes P n =
n
k=1 f k est uniformément convergente sur tout compact de U . S’il en
est ainsi, la limite f des P n est holomorphe dans U (7.4.2). On va introduire d’autres
notions de convergence qui nous permettrons d’obtenir des résultats intéressants.
Définition 9.2.2. Soient U un ouvert de C et (f n ) n une suite d’éléments de H(U ).
(i) On dit que le produit infini
f n converge absolument uniformément (respectivement converge normalement) sur une partie K de U si les conditions suivantes
sont réalisées :
a) La suite (f n ) n converge uniformément vers la fonction constante 1 sur K.
9.2 Produits infinis de fonctions holomorphes
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n, on a S n − λ = Log
exp(S n − λ)
+ 2iπk n , avec k n ∈ Z. D’autre part, comme
lim n exp(S n − λ) = 1 , on voit que :
lim
n
(S n − λ − 2iπk n ) = 0.
(2)
De Log u n = S n+1 − S n et (2), on déduit que la suite (k n+1 − k n ) n a pour limite 0.
Cette suite étant à valeurs entières, on voit alors qu’il existe un entier k tel que k n = k
pour n assez grand. D’où :
lim
n
S n = λ + 2ikπ.
On a obtenu le résultat.
Corollaire 9.1.10. Soit (u n ) n une suite de nombres complexes non nuls et de limite 1.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Le produit infini
u n est strictement convergent et commutativement convergent.
(ii) La série
Log u n est absolument convergente.
Si elles sont vérifiées, on dit que le produit infini est absolument convergent.
Démonstration. C’est immédiat d’après 1.10.8 et 9.1.9.
9.1.11. Le résultat suivant est une amélioration de 9.1.6.
Proposition. Soit (u n ) n une suite d’éléments de C\{−1} et de limite nulle. Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Le produit infini
(1 + u n ) est absolument convergent.
(ii) La série
u n est absolument convergente.
Démonstration. D’après 3.3.2 et 5.3.11, on a Log(1 + z) = z + O(z) au voisinage de
0. Par conséquent, il existe C 1 , C 2 ∈ R ∗
+ tels que C 1 |u n | | Log(1 + u n )| C 2 |u n |
pour n assez grand. La proposition résulte alors de 9.1.10.
9.2 PRODUITS INFINIS DE FONCTIONS HOLOMORPHES
9.2.1. Soient U un ouvert de C et (f n ) n une suite de fonctions holomorphes dans U .
On dit que le produit infini
f n est convergent dans U si la suite de fonctions holomorphes P n =
n
k=1 f k est uniformément convergente sur tout compact de U . S’il en
est ainsi, la limite f des P n est holomorphe dans U (7.4.2). On va introduire d’autres
notions de convergence qui nous permettrons d’obtenir des résultats intéressants.
Définition 9.2.2. Soient U un ouvert de C et (f n ) n une suite d’éléments de H(U ).
(i) On dit que le produit infini
f n converge absolument uniformément (respectivement converge normalement) sur une partie K de U si les conditions suivantes
sont réalisées :
a) La suite (f n ) n converge uniformément vers la fonction constante 1 sur K.