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9 • Produits infinis
Soit σ une permutation de N. Notons T n le produit partiel associé à
(1 + u σ(n) ). Si
N N 0 , pour M assez grand, on a {0, 1, . . . , N} ⊂ {σ(0), σ(1), . . . , σ(M )}. Par
suite,
T M − P N = P N
k∈A
(1 + u k ) − 1
,
avec A = {σ(0), . . . , σ(M )}\{0, 1, . . . , N}. Il résulte alors de 9.1.5 que :
|T M − P N | |P N |(e
ε
− 1) 2|P N |ε 2Cε.
(1)
Prenant σ = id N , on voit alors que la suite (P n ) n vérifie le critère de Cauchy,
donc est convergente. Ainsi, le produit
(1 + u n ) est convergent. On obtient en
outre |P M − P N0 | 2|P N0 |ε, si M > N 0 , donc |P M | (1 − 2ε)|P N0 |, puis
|P | (1 − 2ε)|P N0 |. Par suite, P = 0 si et seulement si P N0 = 0. D’où (i). Enfin,
(ii) résulte trivialement de (1).
Remarque. Le produit infini
u n est dit commutativement convergent si,
pour toute permutation σ de N, le produit infini
u n est convergent.
Corollaire 9.1.7. Soit (u n ) n une suite de nombres réels vérifiant 0 u n < 1 pour
tout n ∈ N. les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La série
u n est convergente.
(ii) Le produit infini
(1 − u n ) est strictement convergent.
Démonstration. L’implication (i) ⇒ (ii) résulte de 9.1.6. Supposons la condition
(ii) réalisée. La suite (P n ) n est une suite décroissante de nombres réels strictement
positifs ; elle a donc une limite P 0. D’après 9.1.5, on a :
P P n exp(−u 0 − · · · − u n ).
Si la série
u n est divergente, il vient P = 0. Contradiction.
9.1.8. Dans ce qui suit, on va utiliser la détermination principale Log du logarithme
(5.3.4). Afin de ne pas alourdir les énoncés, nous ferons un abus de langage en parlant
de série
Log u n alors qu’en général, Log u n ne sera défini que pour n assez grand.
Proposition 9.1.9. Soit (u n ) n une suite de nombres complexes non nuls et de limite 1.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Le produit infini
u n est strictement convergent.
(ii) La série
Log u n est convergente.
Démonstration. D’après les hypothèses, il existe N ∈ N tel que Re(u n ) > 0 pour
n > N. Dans ce cas, il vient :
P n = u 0 · · · u N exp(S n ) avec S n = Log u N +1 + · · · + Log u n .
Si S n a une limite, alors P n a une limite non nulle. Réciproquement, si P n a une limite
non nulle, alors exp(S n ) a une limite non nulle . D’après 3.7.4, il existe λ ∈ C tel
que e λ = . Ainsi, exp(S n − λ) tend vers 1 si n tend vers +∞. On en déduit qu’il
existe N 1 N tel que Log
exp(S n − λ)
soit défini si n N 1 . Pour un tel entier
9 • Produits infinis
Soit σ une permutation de N. Notons T n le produit partiel associé à
(1 + u σ(n) ). Si
N N 0 , pour M assez grand, on a {0, 1, . . . , N} ⊂ {σ(0), σ(1), . . . , σ(M )}. Par
suite,
T M − P N = P N
k∈A
(1 + u k ) − 1
,
avec A = {σ(0), . . . , σ(M )}\{0, 1, . . . , N}. Il résulte alors de 9.1.5 que :
|T M − P N | |P N |(e
ε
− 1) 2|P N |ε 2Cε.
(1)
Prenant σ = id N , on voit alors que la suite (P n ) n vérifie le critère de Cauchy,
donc est convergente. Ainsi, le produit
(1 + u n ) est convergent. On obtient en
outre |P M − P N0 | 2|P N0 |ε, si M > N 0 , donc |P M | (1 − 2ε)|P N0 |, puis
|P | (1 − 2ε)|P N0 |. Par suite, P = 0 si et seulement si P N0 = 0. D’où (i). Enfin,
(ii) résulte trivialement de (1).
Remarque. Le produit infini
u n est dit commutativement convergent si,
pour toute permutation σ de N, le produit infini
u n est convergent.
Corollaire 9.1.7. Soit (u n ) n une suite de nombres réels vérifiant 0 u n < 1 pour
tout n ∈ N. les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La série
u n est convergente.
(ii) Le produit infini
(1 − u n ) est strictement convergent.
Démonstration. L’implication (i) ⇒ (ii) résulte de 9.1.6. Supposons la condition
(ii) réalisée. La suite (P n ) n est une suite décroissante de nombres réels strictement
positifs ; elle a donc une limite P 0. D’après 9.1.5, on a :
P P n exp(−u 0 − · · · − u n ).
Si la série
u n est divergente, il vient P = 0. Contradiction.
9.1.8. Dans ce qui suit, on va utiliser la détermination principale Log du logarithme
(5.3.4). Afin de ne pas alourdir les énoncés, nous ferons un abus de langage en parlant
de série
Log u n alors qu’en général, Log u n ne sera défini que pour n assez grand.
Proposition 9.1.9. Soit (u n ) n une suite de nombres complexes non nuls et de limite 1.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Le produit infini
u n est strictement convergent.
(ii) La série
Log u n est convergente.
Démonstration. D’après les hypothèses, il existe N ∈ N tel que Re(u n ) > 0 pour
n > N. Dans ce cas, il vient :
P n = u 0 · · · u N exp(S n ) avec S n = Log u N +1 + · · · + Log u n .
Si S n a une limite, alors P n a une limite non nulle. Réciproquement, si P n a une limite
non nulle, alors exp(S n ) a une limite non nulle . D’après 3.7.4, il existe λ ∈ C tel
que e λ = . Ainsi, exp(S n − λ) tend vers 1 si n tend vers +∞. On en déduit qu’il
existe N 1 N tel que Log
exp(S n − λ)
soit défini si n N 1 . Pour un tel entier