© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
9.1 Produits infinis de nombres complexes
117
• Si u n = 2 n , le produit infini est divergent (c’est-à-dire non convergent).
• Si u n = 2 −n , il est immédiat que lim n P n = 0. Le produit infini est convergent mais
non strictement convergent.
Remarque. Concernant les produits infinis, on adoptera des conventions analogues à celles de 1.3.3. D’autre part, sauf risque de confusion, on utilisera
systématiquement les notations P n et P de 9.1.2.
Proposition 9.1.4. Si le produit infini
u n est strictement convergent, la suite (u n ) n
admet 1 pour limite.
Démonstration. Si P = 0 est la limite des P n , on a :
lim
n
u n = lim
n
P n
P n−1
=
P
P
= 1.
D’où l’assertion.
Lemme 9.1.5. Soient u 0 , . . . , u n ∈ C et :
P n =
n
k=0
(1 + u k ) , Q n =
n
k=0
(1 + |u k |).
Alors :
Q n exp(|u 0 | + · · · + |u n |) , |P n − 1| Q n − 1.
Démonstration. La première inégalité est évidente en utilisant le développement
en série entière de l’exponentielle. La seconde est claire si n = 0. Raisonnons par
récurrence. Il vient
P n − 1 = P n−1 (1 + u n ) − 1 = (P n−1 − 1)(1 + u n ) + u n .
D’où |P n − 1| (Q n − 1)(1 + |u n |) + |u n | = Q n − 1.
Proposition 9.1.6. Soit (u n ) n une suite de nombres complexes. On suppose que la
série
u n est absolument convergente. Alors :
(i) Le produit infini
(1 + u n ) est convergent. Il n’est pas strictement convergent si
et seulement si l’un des u n est égal à −1.
(ii) Pour toute permutation σ de N, on a :
∞
n=0
(1 + u n ) =
∞
n=0
(1 + u σ(n) ).
Démonstration. Compte tenu des hypothèses et de 9.1.5, il existe un réel C tel que
|P n | C pour tout n ∈ N. D’autre part, si ε ∈ ]0, 1/2[, il existe N 0 ∈ N tel que
∞
n=N0 |u n | ε.
9.1 Produits infinis de nombres complexes
117
• Si u n = 2 n , le produit infini est divergent (c’est-à-dire non convergent).
• Si u n = 2 −n , il est immédiat que lim n P n = 0. Le produit infini est convergent mais
non strictement convergent.
Remarque. Concernant les produits infinis, on adoptera des conventions analogues à celles de 1.3.3. D’autre part, sauf risque de confusion, on utilisera
systématiquement les notations P n et P de 9.1.2.
Proposition 9.1.4. Si le produit infini
u n est strictement convergent, la suite (u n ) n
admet 1 pour limite.
Démonstration. Si P = 0 est la limite des P n , on a :
lim
n
u n = lim
n
P n
P n−1
=
P
P
= 1.
D’où l’assertion.
Lemme 9.1.5. Soient u 0 , . . . , u n ∈ C et :
P n =
n
k=0
(1 + u k ) , Q n =
n
k=0
(1 + |u k |).
Alors :
Q n exp(|u 0 | + · · · + |u n |) , |P n − 1| Q n − 1.
Démonstration. La première inégalité est évidente en utilisant le développement
en série entière de l’exponentielle. La seconde est claire si n = 0. Raisonnons par
récurrence. Il vient
P n − 1 = P n−1 (1 + u n ) − 1 = (P n−1 − 1)(1 + u n ) + u n .
D’où |P n − 1| (Q n − 1)(1 + |u n |) + |u n | = Q n − 1.
Proposition 9.1.6. Soit (u n ) n une suite de nombres complexes. On suppose que la
série
u n est absolument convergente. Alors :
(i) Le produit infini
(1 + u n ) est convergent. Il n’est pas strictement convergent si
et seulement si l’un des u n est égal à −1.
(ii) Pour toute permutation σ de N, on a :
∞
n=0
(1 + u n ) =
∞
n=0
(1 + u σ(n) ).
Démonstration. Compte tenu des hypothèses et de 9.1.5, il existe un réel C tel que
|P n | C pour tout n ∈ N. D’autre part, si ε ∈ ]0, 1/2[, il existe N 0 ∈ N tel que
∞
n=N0 |u n | ε.