Chapitre 9
Produits infinis
9.1 PRODUITS INFINIS DE NOMBRES COMPLEXES
Définition 9.1.1. Soit (u n ) n une suite d’éléments de C. On appelle produit infini de
terme général u n , et on note
u n , la suite de C × C définie par :
u n ,
n
k=0
u k
n0
.
9.1.2. Soit
u n un produit infini. On dit que
P n = u 0 u 1 · · · u n
est le produit partiel de rang n du produit. Le produit est dit convergent si la suite
(P n ) n a une limite P ∈ C. S’il en est ainsi, on note :
P = lim
n
P n =
∞
n=0
u n .
Si en outre P = 0, on dit que le produit infini est strictement convergent.
9.1.3. Donnons quelques exemples.
• Si u 0 = 1 et u n = e 1/n
2 pour n 1, il vient :
lim
n
P n = lim
n
exp
1 +
1
2 2 + · · · +
1
n 2
= e
π
2 /6 .
Le produit infini est strictement convergent.