© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Solutions des exercices
115
On en déduit que la série définissant f n converge normalement sur tout compact de
C ∗ . D’après 8.8.3, on a f ∈ M(C ∗ ). Toujours d’après 8.8.3, l’ensemble des pôles de
f est {a n ; n ∈ N}.
Pour k ∈ N, (z − a k )f (z) est holomorphe au voisinage de a k . Il en résulte que les
pôles de f sont simples. La série
a n étant convergente et les a n non nuls, il existe
r k > 0 tel que a k soit le seul a n contenu dans D (a k , r k ). Si γ k est le cercle de centre
a k et de rayon r k parcouru dans le sens direct, on a donc :
2πi Res(f, a k ) =
γk
f (z) dz =
∞
n=0
a n
γk
dz
z − a n
= a k
γk
dz
z − a k
= 2πia k .
D’où Res(f, a k ) = a k .
Solutions des exercices
115
On en déduit que la série définissant f n converge normalement sur tout compact de
C ∗ . D’après 8.8.3, on a f ∈ M(C ∗ ). Toujours d’après 8.8.3, l’ensemble des pôles de
f est {a n ; n ∈ N}.
Pour k ∈ N, (z − a k )f (z) est holomorphe au voisinage de a k . Il en résulte que les
pôles de f sont simples. La série
a n étant convergente et les a n non nuls, il existe
r k > 0 tel que a k soit le seul a n contenu dans D (a k , r k ). Si γ k est le cercle de centre
a k et de rayon r k parcouru dans le sens direct, on a donc :
2πi Res(f, a k ) =
γk
f (z) dz =
∞
n=0
a n
γk
dz
z − a n
= a k
γk
dz
z − a k
= 2πia k .
D’où Res(f, a k ) = a k .