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9 • Produits infinis
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 9.1. Soit K un compact de D(0, 1). Il existe r ∈ ]0, 1[ tel que |z| r pour
tout z ∈ K. Si z ∈ K, et n ∈ N, on a alors
z 2
n
r 2
n , ce qui prouve que la série
z 2
n est normalement convergente sur K. D’où le premier point d’après 9.2.3. On a
alors f ∈ H
D(0, 1)
.
Pour z ∈ D(0, 1), posons :
g(z) =
1
1 − z
, h(z) =
f (z)
g(z)
·
On a h ∈ H
D(0, 1)
, donc h est continue sur D(0, 1).
On a facilement :
h(z) = h(z
2 ) = · · · = h(z
2
p )
pour tout p ∈ N. La continuité de h implique alors que h(z) = h(0) = 1. On a donc
g = f .
Exercice 9.2.
a) Si z ∈ C, on a z = z −1 , d’où :
|f (z)| =
1 − 2z
2 − z
=
z − 2
2 − z
= 1.
Ainsi, f (C) ⊂ C. Comme f n’est pas constante, il résulte alors du principe du
maximum que f (D) ⊂ D.
b) Si f (z) = w, alors 2z 2 − (w + 1)z + 2w = 0. Dire que cette solution possède
une racine double signifie que w 2 − 14w + 1 = 0. Comme w ∈ D, il vient alors
w = 7 − 4
√
3.
Si w ∈ D et z ∈ C, on a |w| < 1 = f (z) d’après la question précédente. Le théorème
de Rouché montre que f (z) = 0 et f (z) = w ont même nombre de solutions dans D.
Le résultat démandé est alors immédiat.
c) Pour z ∈ D, on a :
2f (z)
z
− 1
=
3z
2 − z
3|z|.
d) Soit z = re iθ , avec θ ∈ R. Si l’on pose x = r cos θ, on obtient :
f (z)
z
2
= 1 −
3(1 − r 2 )
4 + r 2 − 4x
= ψ(x).
Si x croît de −r à r, ψ(x) décroît de ψ(−r) à ψ(r). D’où :
ϕ(r) =
ψ(r) =
2r + 1
r + 2
·