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8 • Fonctions méromorphes
La connexité de C\Z implique alors qu’il existe c ∈ C tel que h(z) = π cotan πz
pour tout z ∈ C\Z (5.2.6).
Or, si z ∈ C\Z :
h(z) =
1
z
+
∞
n=1
1
z − n
+
1
z + n
=
1
z
+
∞
n=1
2z
z 2 − n 2 ·
Ainsi, h est impaire, et c = 0. On a obtenu :
Proposition. Si z ∈ C\Z, on a :
π cotan πz =
1
z
+
n∈Z ∗
1
z − n
−
1
n
=
1
z
+
∞
n=1
2z
z 2 − n 2 ·
EXERCICES
Exercice 8.1. Soient U un ouvert de C, a ∈ U , et f ∈ H(U \{a}).
1. Prouver que a est pôle de f si et seulement si |f (z)| tend vers +∞ quand z tend
vers a.
2. Montrer que f a une singularité essentielle en a si et seulement s’il existe une suite
(z n ) n de points de U , de limite a et telle que
f (z n )
n
n’ait pas de limite (finie ou
non).
Exercice 8.2. Soit f une fonction entière. On définit une fonction g ∈ H(C ∗ ) en
posant g(z) = f (z −1 ). Prouver que f n’est pas un polynôme si et seulement si g a
une singularité essentielle en 0.
Exercice 8.3. Soient U un ouvert de C, A une partie localement finie de U et
f ∈ H(U \A) une application injective.
1. Montrer que, si a ∈ A, f n’a pas de singularité essentielle en a.
2. Si a ∈ A est pôle de f , son ordre est égal à 1.
3. Si tout point de A est une singularité illusoire de f , le prolongement holomorphe de
f à U est une injection.
Exercice 8.4. Pour traiter cet exercice, on utilisera les résultats des exercices précédents.
Montrer que les applications holomorphes injectives de C dans lui-mêmes sont celles
de la forme z → az + b, avec a ∈ C ∗ et b ∈ C. En déduire Aut(C).