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Solutions des exercices
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Exercice 8.5. Déterminer toutes les applications holomorphes injectives de C ∗ dans
lui-même. En déduire Aut(C ∗ ).
Exercice 8.6. Soit (a n ) n0 une suite de nombres complexes non nuls deux à deux
distincts telle que la série
|a n | converge. On pose :
f (z) =
∞
n=0
a n
z − a n
·
Prouver que la série définissant f converge normalement sur tout compact de C ∗ et
que f ∈ M(C ∗ ). Déterminer les pôles de f et les résidus correspondants.
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 8.1. C’est immédiat d’après les critères de 8.2.3.
Exercice 8.2. Il est clair que si f est un polynôme, g n’a pas de singularité essentielle
en 0.
Soit f (z) =
∞
n=0 a n z n le développement en série entière de f à l’origine. Supposons
que 0 ne soit pas une singularité essentielle de g. Pour tout p 0 assez grand,
z
p g(z) =
∞
n=0
a n z
p−n
se prolonge en une fonction entière. Si l’on note γ le cercle C(0, 1) parcouru dans le
sens direct, pour de tels n, les formules de Cauchy fournissent :
0 =
γ
z
n g(z) dz =
∞
p=0
a p
γ
z
n−p dz = 2πia n+1 .
Ceci prouve que f est un polynôme de degré au plus n.
Exercice 8.3.
1. Soit a ∈ A. Il existe un disque ouvert D vérifiant :
D ⊂ U , D ∩ A = {a} , V = D\(A ∪ D) = ∅.
Comme f est injective, il résulte de 8.7.2 que f (V ) est un ouvert non vide de C.
Utilisant à nouveau l’injectivité de f , on a f (D\{a}) ∩ f (V ) = ∅. Il en résulte que
f (D\{a}) n’est pas dense dans C. D’après 8.2.3, f n’a pas de singularité essentielle
en a.
2. Soit a ∈ A un pôle de f d’ordre m 1. Il existe une boule ouverte D de centre a,
contenue dans U , vérifiant D ∩ A = {a}, et telle que g = (1/f )|D soit holomorphe