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8.8 Séries de fonctions méromorphes
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est méromorphe sur C et que ses pôles sont les entiers. En outre, l’application Z → Z,
n → n + 1 étant une bijection, on voit facilement que f (z + 1) = f (z) pour tout
z ∈ C\Z.
Pour z ∈ C\Z, posons :
g(z) =
π
sin πz
2
.
On va prouver que f = g.
Remarquons que f et g ont pour partie principale
1
z 2 en 0. Il en résulte que 0 est une
singularité illusoire de f − g. Les fonctions f et g admettant 1 pour période, on voit
que tout point de Z est une singularité illusoire de f − g. Par suite, f − g se prolonge
en une fonction entière. On va montrer que f − g est bornée sur C. On aura donc le
résultat d’après le théorème de Liouville (7.1.2).
On va prouver que f − g est bornée dans B = {z ∈ C ; | Re(z)| 1}. Cela suffira
puisque f − g est périodique, de période 1.
Tout d’abord, f − g étant continue est bornée dans tout rectangle de la forme
B ρ = {z ∈ C ; | Re(z)| 1, | Im(z)| ρ}.
Ecrivons z = x + iy, avec x, y ∈ R. De | sin πz| 2 = sin
2 πx + sh
2 πy, on déduit que,
si |y| ρ > 0 :
|g(z)|
π 2
sh
2 πy
π 2
sh
2 πρ
·
D’autre part, si z ∈ B\B ρ , il vient :
|f 0 (z)|
1
y 2
1
ρ 2 , |f n (z)|
1
(|n| − 1) 2 + y 2
1
(|n| − 1) 2 + ρ 2 si |n| 1.
On a donc obtenu le résultat. Par suite :
Proposition. Si z ∈ C\Z, on a :
π
sin πz
2
=
+∞
−∞
1
(z − n) 2 ·
8.8.7. Posons
f 0 (z) =
1
z
si z = 0 et f n (z) =
1
z − n
−
1
n
si n ∈ Z
∗ et z = n.
On vérifie facilement que la série
+∞
−∞ f n est normalement convergente dans toute
bande B ρ = {z ∈ C ; | Re(z)| ρ}. Notons h la somme de cette série. D’après 8.8.4
et 8.8.6, si z ∈ C\Z, il vient :
h
(z) = −
+∞
−∞
1
(z − n) 2 = −
π
sin πz
2
= (π cotan πz)
.