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8 • Fonctions méromorphes
Alors la série
f
n de fonctions méromorphes sur U converge uniformément (respectivement normalement) sur U et :
∞
n=0
f n
=
∞
n=0
f
n .
8.8.5. Soit (a n ) n∈Z une famille de nombres complexes indexée par l’ensemble Z des
entiers. Par abus de langage, on dira que la série
+∞
−∞ a n est convergente si les séries
n0 a n et
n1 a −n sont convergentes. On pose alors :
+∞
−∞
a n =
∞
n=0
a n +
∞
n=1
a −n .
On prolonge à ce contexte, de manière évidente, les notions déjà rencontrées pour les
séries usuelles (par exemple, la notion de série absolument convergente).
Le fait que la série
+∞
−∞ a n converge signifie que
n=q
n=−p
a n
a une limite quand p et q tendent vers +∞. On prendra garde au fait que ce n’est pas
équivalent à dire que
n=p
n=−p
a n
a une limite quand p tend vers +∞ (prendre par exemple a n = 1 si n 0 et a n = −1
si n < 0).
On étend ce qui précède au cas de séries de fonctions
+∞
−∞ f n sur un ouvert U de C.
Par exemple, on dit que la série
+∞
−∞ f n converge uniformément sur tout compact de
U si les séries
n0 f n et
n1 f −n convergent uniformément sur tout compact de
U . Les résultats obtenus précédemment sont encore vrais dans ce cadre.
8.8.6. Si n ∈ Z et z = n, on pose :
f n (z) =
1
(z − n) 2 ·
Alors f n ∈ M(C), et n est l’unique pôle de f n .
Soient r > 0 et B r = {z ∈ C ; −r Re(z) r}. Si |n| > r, f n n’a pas de pôle
dans B r et, si z = x + iy ∈ B r , avec x, y ∈ R, il vient :
|f n (z)| =
1
(x − n) 2 + y 2
1
(x − n) 2
1
(|n| − r) 2 ·
On déduit de ceci que la série
+∞
−∞ f n est normalement convergente dans B r . En
particulier, elle est normalement convergente sur tout compact de C. Il résulte de 8.8.4
que sa somme
f (z) =
+∞
−∞
1
(z − n) 2
8 • Fonctions méromorphes
Alors la série
f
n de fonctions méromorphes sur U converge uniformément (respectivement normalement) sur U et :
∞
n=0
f n
=
∞
n=0
f
n .
8.8.5. Soit (a n ) n∈Z une famille de nombres complexes indexée par l’ensemble Z des
entiers. Par abus de langage, on dira que la série
+∞
−∞ a n est convergente si les séries
n0 a n et
n1 a −n sont convergentes. On pose alors :
+∞
−∞
a n =
∞
n=0
a n +
∞
n=1
a −n .
On prolonge à ce contexte, de manière évidente, les notions déjà rencontrées pour les
séries usuelles (par exemple, la notion de série absolument convergente).
Le fait que la série
+∞
−∞ a n converge signifie que
n=q
n=−p
a n
a une limite quand p et q tendent vers +∞. On prendra garde au fait que ce n’est pas
équivalent à dire que
n=p
n=−p
a n
a une limite quand p tend vers +∞ (prendre par exemple a n = 1 si n 0 et a n = −1
si n < 0).
On étend ce qui précède au cas de séries de fonctions
+∞
−∞ f n sur un ouvert U de C.
Par exemple, on dit que la série
+∞
−∞ f n converge uniformément sur tout compact de
U si les séries
n0 f n et
n1 f −n convergent uniformément sur tout compact de
U . Les résultats obtenus précédemment sont encore vrais dans ce cadre.
8.8.6. Si n ∈ Z et z = n, on pose :
f n (z) =
1
(z − n) 2 ·
Alors f n ∈ M(C), et n est l’unique pôle de f n .
Soient r > 0 et B r = {z ∈ C ; −r Re(z) r}. Si |n| > r, f n n’a pas de pôle
dans B r et, si z = x + iy ∈ B r , avec x, y ∈ R, il vient :
|f n (z)| =
1
(x − n) 2 + y 2
1
(x − n) 2
1
(|n| − r) 2 ·
On déduit de ceci que la série
+∞
−∞ f n est normalement convergente dans B r . En
particulier, elle est normalement convergente sur tout compact de C. Il résulte de 8.8.4
que sa somme
f (z) =
+∞
−∞
1
(z − n) 2