© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
8.8 Séries de fonctions méromorphes
109
Plus généralement, toujours d’après 8.5.1, si h ∈ H(U ), on a :
h
g(ζ)
=
1
2iπ
γ
h(z)f (z)
f (z) − ζ
dz.
La formule (3) est parfois appelée la formule d’inversion locale.
8.8 SÉRIES DE FONCTIONS MÉROMORPHES
8.8.1. Soient U un ouvert de C et (f n ) n une suite de fonctions méromorphes sur U .
Notons P n l’ensemble des pôles de f n . C’est une partie localement finie de U . Soit P
la réunion des P n pour n ∈ N. En général, P n’est pas une partie localement finie de
U . Il convient donc de prendre quelques précautions si l’on veut définir une notion de
série
f n et si l’on veut que la somme de cette série soit une fonction méromorphe
sur U .
Définition 8.8.2. Soient U un ouvert de C, K une partie de U , et (f n ) n une suite
d’éléments de M(U ). On dit que la série
f n converge uniformément (respectivement converge normalement) sur K s’il existe N ∈ N tel que :
(i) Pour n N , f n n’a aucun pôle appartenant à K.
(ii) La série
nN f n converge uniformément (respectivement normalement) sur K.
La série
f n est dite uniformément convergente sur tout compact (respectivement
normalement convergente sur tout compact) de U si, pour tout compact K de U , elle
converge uniformément (respectivement normalement) sur K.
8.8.3. Supposons que la série
f n converge uniformément (respectivement normalement) sur tout compact de U , et soit f la fonction somme de cette série.
Soit V un ouvert relativement compact tel que V ⊂ U . Il existe un entier N tel que f n
n’ait aucun pôle dans V pour n N . D’autre part :
f =
N
n=0
f n +
∞
n=N +1
f n .
La fonction
nN f n est holomorphe dans V (7.4.2). Comme U est localement compact, on en déduit que f ∈ M(U ).
Si P n (respectivement P ) est l’ensemble des pôles de f n (respectivement f ), il est
immédiat que P est contenu dans la réunion Q des P n , mais il peut en être distinct. Si
les P n sont deux à deux disjoints, on vérifie facilement que P = Q.
8.8.4. On déduit aisément de 7.4.3 le résultat suivant :
Théorème. Soient U un ouvert de C et
f n une série de fonctions méromorphes sur
U convergeant uniformément (respectivement normalement) sur tout compact de U .
8.8 Séries de fonctions méromorphes
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Plus généralement, toujours d’après 8.5.1, si h ∈ H(U ), on a :
h
g(ζ)
=
1
2iπ
γ
h(z)f (z)
f (z) − ζ
dz.
La formule (3) est parfois appelée la formule d’inversion locale.
8.8 SÉRIES DE FONCTIONS MÉROMORPHES
8.8.1. Soient U un ouvert de C et (f n ) n une suite de fonctions méromorphes sur U .
Notons P n l’ensemble des pôles de f n . C’est une partie localement finie de U . Soit P
la réunion des P n pour n ∈ N. En général, P n’est pas une partie localement finie de
U . Il convient donc de prendre quelques précautions si l’on veut définir une notion de
série
f n et si l’on veut que la somme de cette série soit une fonction méromorphe
sur U .
Définition 8.8.2. Soient U un ouvert de C, K une partie de U , et (f n ) n une suite
d’éléments de M(U ). On dit que la série
f n converge uniformément (respectivement converge normalement) sur K s’il existe N ∈ N tel que :
(i) Pour n N , f n n’a aucun pôle appartenant à K.
(ii) La série
nN f n converge uniformément (respectivement normalement) sur K.
La série
f n est dite uniformément convergente sur tout compact (respectivement
normalement convergente sur tout compact) de U si, pour tout compact K de U , elle
converge uniformément (respectivement normalement) sur K.
8.8.3. Supposons que la série
f n converge uniformément (respectivement normalement) sur tout compact de U , et soit f la fonction somme de cette série.
Soit V un ouvert relativement compact tel que V ⊂ U . Il existe un entier N tel que f n
n’ait aucun pôle dans V pour n N . D’autre part :
f =
N
n=0
f n +
∞
n=N +1
f n .
La fonction
nN f n est holomorphe dans V (7.4.2). Comme U est localement compact, on en déduit que f ∈ M(U ).
Si P n (respectivement P ) est l’ensemble des pôles de f n (respectivement f ), il est
immédiat que P est contenu dans la réunion Q des P n , mais il peut en être distinct. Si
les P n sont deux à deux disjoints, on vérifie facilement que P = Q.
8.8.4. On déduit aisément de 7.4.3 le résultat suivant :
Théorème. Soient U un ouvert de C et
f n une série de fonctions méromorphes sur
U convergeant uniformément (respectivement normalement) sur tout compact de U .