108
8 • Fonctions méromorphes
L’application ζ → ind f ◦γ (ζ) est constante sur W (6.3.2). Par suite, ind f ◦γ (ζ) = k
pour tout ζ ∈ W . D’après 8.5.2, si ζ ∈ W , l’équation f (z) − ζ = 0 possède donc k
solutions dans D(a, ρ). Par conséquent, f (V ) = W .
Soient ζ ∈ W \{f (a)} et b ∈ D ∗ (a, ρ) vérifiant f (b) = ζ. Il existe un voisinage de b
dans D(a, ρ) tel que, dans ce voisinage, on ait un développement
f (z) − ζ =
∞
n=1
α n (z − b)
n .
On a α 1 = f (b). Comme f (b) = 0 d’après le choix de ρ, on voit que b est un zéro
simple de f − ζ. Ainsi, les k zéros de f − ζ dans D(a, ρ) sont distincts.
Corollaire 8.7.2. Soient U un ouvert de C et f ∈ H(U ).
(i) Si U est connexe et f non constante, f est une application ouverte.
(ii) Si f est injective, on a f (z) = 0 pour tout z ∈ U .
Théorème 8.7.3. (Théorème d’inversion locale). Soient U un ouvert connexe de C,
f ∈ H(U ), a ∈ U , et w = f (a). Si f (a) = 0, il existe un voisinage ouvert V de a et
un voisinage ouvert W de w tels que f soit un isomorphisme analytique de V sur W .
Démonstration. L’existence de V, W et le fait que f soit une bijection de V sur W
résultent de 8.7.1. Notons g : W → V l’application réciproque de f . Comme f est
ouverte, g est continue, et f ne s’annule pas dans V (8.7.2).
Soit w 0 ∈ W . Si ζ ∈ W , on a :
g(ζ) − g(w 0 )
ζ − w 0
=
g(ζ) − g(w 0 )
f [g(ζ)] − f [g(w 0 )]
·
La continuité de g au point w 0 montre alors que
lim
ζ→w0
g(ζ) − g(w 0 )
ζ − w 0
=
1
f [g(w 0 )]
.
Par suite, g est dérivable en w 0 . Ainsi, g ∈ H(W ).
Corollaire 8.7.4. Soient U un ouvert de C et f ∈ H(U ). Si f est injective, c’est un
isomorphisme analytique de U sur f (U ).
Remarque. Le résultat de 8.7.4 permet d’affaiblir les conditions de 7.3.2
8.7.5. Avec les hypothèses et notations de 8.7.3, soient r > 0 tel que D (a, r) ⊂ V
et γ le cercle C(a, r) parcouru dans le sens direct. D’après 8.5.1, pour ζ ∈ W , la
solution ξ = g(ζ) dans V de l’équation f (ξ) = ζ est donnée par :
g(ζ) =
1
2iπ
γ
zf (z)
f (z) − ζ
dz.
(3)
8 • Fonctions méromorphes
L’application ζ → ind f ◦γ (ζ) est constante sur W (6.3.2). Par suite, ind f ◦γ (ζ) = k
pour tout ζ ∈ W . D’après 8.5.2, si ζ ∈ W , l’équation f (z) − ζ = 0 possède donc k
solutions dans D(a, ρ). Par conséquent, f (V ) = W .
Soient ζ ∈ W \{f (a)} et b ∈ D ∗ (a, ρ) vérifiant f (b) = ζ. Il existe un voisinage de b
dans D(a, ρ) tel que, dans ce voisinage, on ait un développement
f (z) − ζ =
∞
n=1
α n (z − b)
n .
On a α 1 = f (b). Comme f (b) = 0 d’après le choix de ρ, on voit que b est un zéro
simple de f − ζ. Ainsi, les k zéros de f − ζ dans D(a, ρ) sont distincts.
Corollaire 8.7.2. Soient U un ouvert de C et f ∈ H(U ).
(i) Si U est connexe et f non constante, f est une application ouverte.
(ii) Si f est injective, on a f (z) = 0 pour tout z ∈ U .
Théorème 8.7.3. (Théorème d’inversion locale). Soient U un ouvert connexe de C,
f ∈ H(U ), a ∈ U , et w = f (a). Si f (a) = 0, il existe un voisinage ouvert V de a et
un voisinage ouvert W de w tels que f soit un isomorphisme analytique de V sur W .
Démonstration. L’existence de V, W et le fait que f soit une bijection de V sur W
résultent de 8.7.1. Notons g : W → V l’application réciproque de f . Comme f est
ouverte, g est continue, et f ne s’annule pas dans V (8.7.2).
Soit w 0 ∈ W . Si ζ ∈ W , on a :
g(ζ) − g(w 0 )
ζ − w 0
=
g(ζ) − g(w 0 )
f [g(ζ)] − f [g(w 0 )]
·
La continuité de g au point w 0 montre alors que
lim
ζ→w0
g(ζ) − g(w 0 )
ζ − w 0
=
1
f [g(w 0 )]
.
Par suite, g est dérivable en w 0 . Ainsi, g ∈ H(W ).
Corollaire 8.7.4. Soient U un ouvert de C et f ∈ H(U ). Si f est injective, c’est un
isomorphisme analytique de U sur f (U ).
Remarque. Le résultat de 8.7.4 permet d’affaiblir les conditions de 7.3.2
8.7.5. Avec les hypothèses et notations de 8.7.3, soient r > 0 tel que D (a, r) ⊂ V
et γ le cercle C(a, r) parcouru dans le sens direct. D’après 8.5.1, pour ζ ∈ W , la
solution ξ = g(ζ) dans V de l’équation f (ξ) = ζ est donnée par :
g(ζ) =
1
2iπ
γ
zf (z)
f (z) − ζ
dz.
(3)