© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
8.7 Inversion locale
107
Alors :
m
k=1
ind γ (a k ) =
n
j=1
ind γ (b j ).
Démonstration. D’après l’hypothèse, aucun point de im γ n’est zéro de f ou de g.
Compte tenu de 8.5.1, on a :
ind f ◦γ (0) =
m
k=1
ind γ (a k ) , ind g◦γ (0) =
n
j=1
ind γ (b j ).
Si t ∈ [x, y], on a |f ◦γ(t) − g◦(t)| < |f ◦γ(t)|. D’où ind f ◦γ (0) = ind g◦γ (0) (8.6.1),
et le résultat.
Corollaire 8.6.3. Soient U un ouvert de C, a ∈ U et r > 0 tels que D (a, r) ⊂ U .
Soient f, g ∈ H(U ) vérifiant |f (z) − g(z)| < |f (z)| pour tout z ∈ C(a, r). Alors f
et g ont même nombre de zéros (comptés avec leur multiplicité) dans D(a, r).
Corollaire 8.6.4. Soit f une fonction holomorphe dans un voisinage de D (0, 1) et
telle que |f (z)| < 1 si [z| = 1. Alors l’équation f (z) = z n a exactement n solutions
(comptées avec leur multiplicité) dans D(0, 1).
Démonstration. Si |z| = 1, on a :
|z
n
−
z
n
− f (z)
| < |z|
n .
Comme l’équation z n = 0 a n solutions dans D(0, 1), on a le résultat (8.6.3).
8.7 INVERSION LOCALE
Théorème 8.7.1. (Théorème de l’application ouverte). Soit f une fonction holomorphe dans un disque D(a, r) et non constante. On note k la multiplicité du zéro a
de l’équation f (z) − f (a) = 0. Il existe un voisinage ouvert V de a et un voisinage
ouvert W = f (V ) de f (a) tels que, pour tout ζ ∈ W \{f (a)}, il existe k points
distincts z 1 , . . . , z k ∈ V vérifiant f (z j ) = ζ pour 1 j k.
Démonstration. Les zéros de f et de f − f (a) étant isolés, il existe ρ ∈ ]0, r[ tel que
D (a, ρ) ⊂ D(a, r) et f (z) = 0, f (z) = f (a) pour tout z ∈ D (a, ρ)\{a}. Notons
γ le cercle C(a, ρ) parcouru dans le sens direct. D’après 8.5.2, il vient :
k =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z) − f (a)
dz = ind f ◦γ
f (a)
.
Soit W la composante connexe de C\ im(f ◦γ) contenant f (a). Elle est ouverte car
im(f ◦γ) est un compact de C, et que les composantes connexes d’un ouvert de C sont
des ouverts. Posons V = D(a, ρ)∩f −1 (W ). C’est un ouvert de C tel que f (V ) ⊂ W .
8.7 Inversion locale
107
Alors :
m
k=1
ind γ (a k ) =
n
j=1
ind γ (b j ).
Démonstration. D’après l’hypothèse, aucun point de im γ n’est zéro de f ou de g.
Compte tenu de 8.5.1, on a :
ind f ◦γ (0) =
m
k=1
ind γ (a k ) , ind g◦γ (0) =
n
j=1
ind γ (b j ).
Si t ∈ [x, y], on a |f ◦γ(t) − g◦(t)| < |f ◦γ(t)|. D’où ind f ◦γ (0) = ind g◦γ (0) (8.6.1),
et le résultat.
Corollaire 8.6.3. Soient U un ouvert de C, a ∈ U et r > 0 tels que D (a, r) ⊂ U .
Soient f, g ∈ H(U ) vérifiant |f (z) − g(z)| < |f (z)| pour tout z ∈ C(a, r). Alors f
et g ont même nombre de zéros (comptés avec leur multiplicité) dans D(a, r).
Corollaire 8.6.4. Soit f une fonction holomorphe dans un voisinage de D (0, 1) et
telle que |f (z)| < 1 si [z| = 1. Alors l’équation f (z) = z n a exactement n solutions
(comptées avec leur multiplicité) dans D(0, 1).
Démonstration. Si |z| = 1, on a :
|z
n
−
z
n
− f (z)
| < |z|
n .
Comme l’équation z n = 0 a n solutions dans D(0, 1), on a le résultat (8.6.3).
8.7 INVERSION LOCALE
Théorème 8.7.1. (Théorème de l’application ouverte). Soit f une fonction holomorphe dans un disque D(a, r) et non constante. On note k la multiplicité du zéro a
de l’équation f (z) − f (a) = 0. Il existe un voisinage ouvert V de a et un voisinage
ouvert W = f (V ) de f (a) tels que, pour tout ζ ∈ W \{f (a)}, il existe k points
distincts z 1 , . . . , z k ∈ V vérifiant f (z j ) = ζ pour 1 j k.
Démonstration. Les zéros de f et de f − f (a) étant isolés, il existe ρ ∈ ]0, r[ tel que
D (a, ρ) ⊂ D(a, r) et f (z) = 0, f (z) = f (a) pour tout z ∈ D (a, ρ)\{a}. Notons
γ le cercle C(a, ρ) parcouru dans le sens direct. D’après 8.5.2, il vient :
k =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z) − f (a)
dz = ind f ◦γ
f (a)
.
Soit W la composante connexe de C\ im(f ◦γ) contenant f (a). Elle est ouverte car
im(f ◦γ) est un compact de C, et que les composantes connexes d’un ouvert de C sont
des ouverts. Posons V = D(a, ρ)∩f −1 (W ). C’est un ouvert de C tel que f (V ) ⊂ W .