106
8 • Fonctions méromorphes
D’autre part, la suite (f
n ) n converge uniformément vers f sur im γ (4.7.2). On voit
alors facilement que la suite (f
n /f n ) n converge uniformément vers f /f sur im γ. Par
conséquent :
0 < k =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz = lim
n
1
2iπ
γ
f
n (z)
f n (z)
dz = 0.
Contradiction.
(ii) Supposons qu’il existe des points distincts a, b de U tels que f (a) = f (b). Soit D a
et D b des disques ouverts de centres respectifs a et b, contenus dans U , et disjoints.
Comme f − f (a) n’est pas nulle, il résulte de (i) qu’il existe une suite extraite (f nk ) k
de (f n ) n telle que f nk − f (a) ait un zéro dans D a pour tout k. Remplaçant la suite
initiale par cette suite extraite, on peut supposer que f n − f (a) a un zéro dans D a pour
tout n.
On voit de même qu’il existe une suite extraite (f nk ) k de (f n ) n telle que f nk − f (a)
ait un zéro dans D b pour tout k. Comme D a ∩ D b = ∅, les fonctions f nk ne sont pas
injectives. Contradiction.
8.6 THÉORÈME DE ROUCHÉ
Lemme 8.6.1. Soient ([x, y], γ) et ([x, y], δ) deux chemins fermés dans un ouvert U
de C vérifiant |γ(t) − δ(t)| < |γ(t)| pour tout t ∈ [x, y]. Alors :
ind γ (0) = ind δ (0).
Démonstration. Remarquons que la condition |γ(t) − δ(t)| < |γ(t)| pour tout
t ∈ [x, y] implique 0 /
∈ (im γ) ∪ (im δ). Les indices sont donc bien définis.
Posons ϕ = δ/γ. Il vient :
ϕ
ϕ
=
δ
δ
−
γ
γ
·
(2)
L’hypothèse implique |1 − ϕ(t)| < 1 pour tout t ∈ [x, y], donc im ϕ ⊂ D(1, 1). Il
en résulte que 0 appartient à la composante connexe non bornée de C\ im ϕ. D’après
6.3.2, ind ϕ (0) = 0. On déduit alors de (2) :
0 = 2iπ ind ϕ (0) =
y
x
ϕ (t)
ϕ(t)
dt =
y
x
δ (t)
δ(t)
dt −
y
x
γ (t)
γ(t)
dt
= 2iπ[ind δ (0) − ind γ (0)].
D’où le résultat.
Théorème 8.6.2. (Théorème de Rouché). Soient U un ouvert convexe de C,
f, g ∈ H(U ), et ([x, y], γ) un chemin fermé dans U . On suppose vérifiées les
conditions suivantes :
(i) f (respectivement g) n’a qu’un nombre fini a 1 , . . . , a m (respectivement b 1 , . . . , b n )
de zéros dans U , comptés avec leur multiplicité.
(ii) Pour tout z ∈ im γ, on a |f (z) − g(z)| < |f (z)|.
8 • Fonctions méromorphes
D’autre part, la suite (f
n ) n converge uniformément vers f sur im γ (4.7.2). On voit
alors facilement que la suite (f
n /f n ) n converge uniformément vers f /f sur im γ. Par
conséquent :
0 < k =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz = lim
n
1
2iπ
γ
f
n (z)
f n (z)
dz = 0.
Contradiction.
(ii) Supposons qu’il existe des points distincts a, b de U tels que f (a) = f (b). Soit D a
et D b des disques ouverts de centres respectifs a et b, contenus dans U , et disjoints.
Comme f − f (a) n’est pas nulle, il résulte de (i) qu’il existe une suite extraite (f nk ) k
de (f n ) n telle que f nk − f (a) ait un zéro dans D a pour tout k. Remplaçant la suite
initiale par cette suite extraite, on peut supposer que f n − f (a) a un zéro dans D a pour
tout n.
On voit de même qu’il existe une suite extraite (f nk ) k de (f n ) n telle que f nk − f (a)
ait un zéro dans D b pour tout k. Comme D a ∩ D b = ∅, les fonctions f nk ne sont pas
injectives. Contradiction.
8.6 THÉORÈME DE ROUCHÉ
Lemme 8.6.1. Soient ([x, y], γ) et ([x, y], δ) deux chemins fermés dans un ouvert U
de C vérifiant |γ(t) − δ(t)| < |γ(t)| pour tout t ∈ [x, y]. Alors :
ind γ (0) = ind δ (0).
Démonstration. Remarquons que la condition |γ(t) − δ(t)| < |γ(t)| pour tout
t ∈ [x, y] implique 0 /
∈ (im γ) ∪ (im δ). Les indices sont donc bien définis.
Posons ϕ = δ/γ. Il vient :
ϕ
ϕ
=
δ
δ
−
γ
γ
·
(2)
L’hypothèse implique |1 − ϕ(t)| < 1 pour tout t ∈ [x, y], donc im ϕ ⊂ D(1, 1). Il
en résulte que 0 appartient à la composante connexe non bornée de C\ im ϕ. D’après
6.3.2, ind ϕ (0) = 0. On déduit alors de (2) :
0 = 2iπ ind ϕ (0) =
y
x
ϕ (t)
ϕ(t)
dt =
y
x
δ (t)
δ(t)
dt −
y
x
γ (t)
γ(t)
dt
= 2iπ[ind δ (0) − ind γ (0)].
D’où le résultat.
Théorème 8.6.2. (Théorème de Rouché). Soient U un ouvert convexe de C,
f, g ∈ H(U ), et ([x, y], γ) un chemin fermé dans U . On suppose vérifiées les
conditions suivantes :
(i) f (respectivement g) n’a qu’un nombre fini a 1 , . . . , a m (respectivement b 1 , . . . , b n )
de zéros dans U , comptés avec leur multiplicité.
(ii) Pour tout z ∈ im γ, on a |f (z) − g(z)| < |f (z)|.