© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
8.5 Théorème de l’indice
105
Remarque. Dans 8.5.1, l’hypothèse de finitude de l’ensemble des zéros et de
l’ensemble des pôles est peu importante. Si elle n’est pas vérifiée, on peut
s’y ramener. En effet, il existe un ouvert relativement compact V tel que
im γ ⊂ V ⊂ V ⊂ U . De plus, on a ind γ (a) = 0 si a /
∈ V , car ind γ (a) = 0 si a
appartient à la composante non bornée de C\ im γ (6.3.2), donc ind γ (a) = 0
si a /
∈ V . Dans les sommes de 8.5.1, on peut donc se limiter à sommer sur
l’ensemble des zéros et des pôles contenus dans un convexe compact contenant
im γ.
Corollaire 8.5.2. Soient U un ouvert de C et f ∈ M(U ). Soit γ un cercle D(a, r)
parcouru dans le sens direct tel que D (a, r) ⊂ U . On suppose que les zéros et les
pôles de f n’appartiennent pas à im γ. Alors
ind f ◦γ (0) =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz = n Z − n P ,
où n Z (respectivement n P ) est le nombre de zéros (respectivement de pôles) de f
contenus dans D(a, r), et comptés avec leur multiplicité.
Démonstration. D’après 6.2.2 et 6.3.2, ind f ◦γ (0) est égal à :
1
2iπ
2π
0
(f ◦γ) (t)
f ◦γ(t)
dt =
1
2iπ
2π
0
f [γ(t)]γ (t)
f [γ(t)]
dt =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz.
D’où le résultat, compte tenu de 8.5.1.
8.5.3. Le théorème de l’indice nous permet d’améliorer le résultat de 7.4.2.
Théorème. Soient U un ouvert connexe de C et (f n ) n une suite d’éléments de H(U )
convergeant uniformément sur tout compact vers une fonction f .
(i) Si les f n n’ont aucun zéro dans U et si f n’est pas nulle, alors f n’a aucun zéro
dans U .
(ii) Si les f n sont injectives et si f n’est pas constante, alors f est injective.
Démonstration. D’après 7.4.2, on a f ∈ H(U ).
(i) Supposons que a ∈ U soit un zéro de f . D’après le principe des zéros isolés, il
existe r > 0 tel que D (a, r) ⊂ U et f (z) = 0 si |z − a| = r. Soit γ le cercle C(a, r)
parcouru dans le sens direct. D’après le théorème de l’indice, il existe k ∈ N ∗ tel que
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz = k et
1
2iπ
γ
f
n (z)
f n (z)
dz = 0
puisque f n est sans zéro dans U .
Comme f (z) = 0 si z ∈ im γ, il existe A > 0 tel que A |f (z)| pour tout z ∈ im γ.
8.5 Théorème de l’indice
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Remarque. Dans 8.5.1, l’hypothèse de finitude de l’ensemble des zéros et de
l’ensemble des pôles est peu importante. Si elle n’est pas vérifiée, on peut
s’y ramener. En effet, il existe un ouvert relativement compact V tel que
im γ ⊂ V ⊂ V ⊂ U . De plus, on a ind γ (a) = 0 si a /
∈ V , car ind γ (a) = 0 si a
appartient à la composante non bornée de C\ im γ (6.3.2), donc ind γ (a) = 0
si a /
∈ V . Dans les sommes de 8.5.1, on peut donc se limiter à sommer sur
l’ensemble des zéros et des pôles contenus dans un convexe compact contenant
im γ.
Corollaire 8.5.2. Soient U un ouvert de C et f ∈ M(U ). Soit γ un cercle D(a, r)
parcouru dans le sens direct tel que D (a, r) ⊂ U . On suppose que les zéros et les
pôles de f n’appartiennent pas à im γ. Alors
ind f ◦γ (0) =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz = n Z − n P ,
où n Z (respectivement n P ) est le nombre de zéros (respectivement de pôles) de f
contenus dans D(a, r), et comptés avec leur multiplicité.
Démonstration. D’après 6.2.2 et 6.3.2, ind f ◦γ (0) est égal à :
1
2iπ
2π
0
(f ◦γ) (t)
f ◦γ(t)
dt =
1
2iπ
2π
0
f [γ(t)]γ (t)
f [γ(t)]
dt =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz.
D’où le résultat, compte tenu de 8.5.1.
8.5.3. Le théorème de l’indice nous permet d’améliorer le résultat de 7.4.2.
Théorème. Soient U un ouvert connexe de C et (f n ) n une suite d’éléments de H(U )
convergeant uniformément sur tout compact vers une fonction f .
(i) Si les f n n’ont aucun zéro dans U et si f n’est pas nulle, alors f n’a aucun zéro
dans U .
(ii) Si les f n sont injectives et si f n’est pas constante, alors f est injective.
Démonstration. D’après 7.4.2, on a f ∈ H(U ).
(i) Supposons que a ∈ U soit un zéro de f . D’après le principe des zéros isolés, il
existe r > 0 tel que D (a, r) ⊂ U et f (z) = 0 si |z − a| = r. Soit γ le cercle C(a, r)
parcouru dans le sens direct. D’après le théorème de l’indice, il existe k ∈ N ∗ tel que
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz = k et
1
2iπ
γ
f
n (z)
f n (z)
dz = 0
puisque f n est sans zéro dans U .
Comme f (z) = 0 si z ∈ im γ, il existe A > 0 tel que A |f (z)| pour tout z ∈ im γ.