104
8 • Fonctions méromorphes
Soit a un réel vérifiant a > 1. En prenant R(X, Y ) =
1
a + Y
, calculons
I =
2π
0
dt
a + cos t
·
Il vient :
I =
2
i
γ
dz
z 2 + 2az + 1
·
Le seul pôle contenu dans C(0, 1) est −a +
√
a 2 − 1. C’est un pôle simple. Compte
tenu de ce qui précède et de 8.4.2, on obtient :
I =
2π
√
a 2 − 1
·
8.5 THÉORÈME DE L’INDICE
Théorème 8.5.1. (Théorème de l’indice). Soient U un ouvert convexe de C,
g ∈ H(U ), et f ∈ M(U ). On suppose que f n’a qu’un nombre fini de zéros
a 1 , . . . , a m dans U (comptés avec leur multiplicité), et qu’un nombre fini de pôles
b 1 , . . . , b n dans U (comptés aussi avec leur multiplicité). Soit γ un chemin dans U ne
contenant aucun des a k et aucun des b j . Alors :
1
2iπ
γ
g(z)
f (z)
f (z)
dz =
m
k=1
g(a k ) ind γ (a k ) −
n
j=1
g(b j ) ind γ (b j ).
En particulier :
ind f ◦γ (0) =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz =
m
k=1
ind γ (a k ) −
n
j=1
ind γ (b j ).
Démonstration. Soit a ∈ U un zéro d’ordre k de f . Il existe une fonction h holomorphe au voisinage de a telle que f (z) = (z − a) k h(z), avec h(a) = 0. Il vient
g(z)
f (z)
f (z)
= g(z)
k
z − a
+ g(z)
h (z)
h(z)
·
Comme h(a) = 0, g
f
f
est holomorphe au voisinage de a. Par suite :
• Si g(a) = 0, = g
f
f
a une singularité illusoire en a.
• Si g(a) = 0, a est pôle simple de (8.3.4), la partie principale de en a est
k
z − a
,
et Res(, a) = kg(a).
De même, si a est un pôle d’ordre k de f , on a f (z) = (z − a) −k h(z) au voisinage de
a, et on trouve que a un pôle simple en a, avec Res(, a) = −kg(a).
Le théorème est donc conséquence de 8.4.3 puisque les zéros et les pôles de f ont été
comptés avec leur multiplicité.
8 • Fonctions méromorphes
Soit a un réel vérifiant a > 1. En prenant R(X, Y ) =
1
a + Y
, calculons
I =
2π
0
dt
a + cos t
·
Il vient :
I =
2
i
γ
dz
z 2 + 2az + 1
·
Le seul pôle contenu dans C(0, 1) est −a +
√
a 2 − 1. C’est un pôle simple. Compte
tenu de ce qui précède et de 8.4.2, on obtient :
I =
2π
√
a 2 − 1
·
8.5 THÉORÈME DE L’INDICE
Théorème 8.5.1. (Théorème de l’indice). Soient U un ouvert convexe de C,
g ∈ H(U ), et f ∈ M(U ). On suppose que f n’a qu’un nombre fini de zéros
a 1 , . . . , a m dans U (comptés avec leur multiplicité), et qu’un nombre fini de pôles
b 1 , . . . , b n dans U (comptés aussi avec leur multiplicité). Soit γ un chemin dans U ne
contenant aucun des a k et aucun des b j . Alors :
1
2iπ
γ
g(z)
f (z)
f (z)
dz =
m
k=1
g(a k ) ind γ (a k ) −
n
j=1
g(b j ) ind γ (b j ).
En particulier :
ind f ◦γ (0) =
1
2iπ
γ
f (z)
f (z)
dz =
m
k=1
ind γ (a k ) −
n
j=1
ind γ (b j ).
Démonstration. Soit a ∈ U un zéro d’ordre k de f . Il existe une fonction h holomorphe au voisinage de a telle que f (z) = (z − a) k h(z), avec h(a) = 0. Il vient
g(z)
f (z)
f (z)
= g(z)
k
z − a
+ g(z)
h (z)
h(z)
·
Comme h(a) = 0, g
f
f
est holomorphe au voisinage de a. Par suite :
• Si g(a) = 0, = g
f
f
a une singularité illusoire en a.
• Si g(a) = 0, a est pôle simple de (8.3.4), la partie principale de en a est
k
z − a
,
et Res(, a) = kg(a).
De même, si a est un pôle d’ordre k de f , on a f (z) = (z − a) −k h(z) au voisinage de
a, et on trouve que a un pôle simple en a, avec Res(, a) = −kg(a).
Le théorème est donc conséquence de 8.4.3 puisque les zéros et les pôles de f ont été
comptés avec leur multiplicité.