© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
8.4 Théorème des résidus
103
• Si m = 1 (pôle simple), il vient
f (z) =
g(z)
(z − a)h 1 (z)
=
α −1
z − a
+ (z).
D’où :
Res(f, a) = α −1 = lim
z→a
(z − a)f (z) = lim
z→a
g(z)
h 1 (z)
=
g(a)
h 1 (a)
·
De h(z) = (z − a)h 1 (a), on déduit h 1 (a) = h (a). Ainsi :
Res(f, a) =
g(a)
h (a)
·
• Si m > 1, le résidu se calcule en faisant un développement limité de (z − a) m f (z)
à l’ordre m − 1 au voisinage de a, ou en utilisant la formule de Taylor qui donne :
Res(f, a) = lim
z→a
1
(m − 1)!
[(z − a)
m f (z)]
(m−1) .
Théorème 8.4.3. (Théorème des résidus). Soient U un ouvert convexe de C,
a 1 , . . . , a n des points deux à deux distincts de U et f ∈ H(U \{a 1 , . . . , a n }). On
suppose que chaque a k est un pôle de f . Si γ est un chemin fermé dans U dont l’image
ne contient aucun des a k , on a :
γ
f (z) dz = 2iπ
n
k=1
ind γ (a k ) Res(f, a k ).
Démonstration. Notons P k la partie principale de f en a k , 1 k n. La fonction
f − P 1 − · · · − P n a une fausse singularité en chaque a k . Elle se prolonge donc en une
fonction holomorphe dans U . D’après 6.4.6, il vient :
γ
[f (z) − P 1 (z) − · · · − P n (z)] dz = 0.
On a alors le résultat d’après 8.4.1.
8.4.4. Le théorème des résidus permet le calcul de certaines intégrales. Donnons un
exemple. Considérons une intégrale du type
I =
2π
0
R(sin t, cos t) dt,
où R(X, Y ) est une fraction rationnelle sans pôle sur le cercle d’équation x 2 +y 2 = 1.
Si l’on note γ le cercle C(0, 1) parcouru dans le sens direct, et si l’on pose z = e it , il
vient :
I =
γ
1
iz
R
1
2i
z −
1
z
,
1
2
z +
1
z
dz.
Par suite
I = 2π
Res
R
1
2i
z −
1
z
,
1
2
z +
1
z
,
la somme portant sur les pôles appartenant à D(0, 1).
8.4 Théorème des résidus
103
• Si m = 1 (pôle simple), il vient
f (z) =
g(z)
(z − a)h 1 (z)
=
α −1
z − a
+ (z).
D’où :
Res(f, a) = α −1 = lim
z→a
(z − a)f (z) = lim
z→a
g(z)
h 1 (z)
=
g(a)
h 1 (a)
·
De h(z) = (z − a)h 1 (a), on déduit h 1 (a) = h (a). Ainsi :
Res(f, a) =
g(a)
h (a)
·
• Si m > 1, le résidu se calcule en faisant un développement limité de (z − a) m f (z)
à l’ordre m − 1 au voisinage de a, ou en utilisant la formule de Taylor qui donne :
Res(f, a) = lim
z→a
1
(m − 1)!
[(z − a)
m f (z)]
(m−1) .
Théorème 8.4.3. (Théorème des résidus). Soient U un ouvert convexe de C,
a 1 , . . . , a n des points deux à deux distincts de U et f ∈ H(U \{a 1 , . . . , a n }). On
suppose que chaque a k est un pôle de f . Si γ est un chemin fermé dans U dont l’image
ne contient aucun des a k , on a :
γ
f (z) dz = 2iπ
n
k=1
ind γ (a k ) Res(f, a k ).
Démonstration. Notons P k la partie principale de f en a k , 1 k n. La fonction
f − P 1 − · · · − P n a une fausse singularité en chaque a k . Elle se prolonge donc en une
fonction holomorphe dans U . D’après 6.4.6, il vient :
γ
[f (z) − P 1 (z) − · · · − P n (z)] dz = 0.
On a alors le résultat d’après 8.4.1.
8.4.4. Le théorème des résidus permet le calcul de certaines intégrales. Donnons un
exemple. Considérons une intégrale du type
I =
2π
0
R(sin t, cos t) dt,
où R(X, Y ) est une fraction rationnelle sans pôle sur le cercle d’équation x 2 +y 2 = 1.
Si l’on note γ le cercle C(0, 1) parcouru dans le sens direct, et si l’on pose z = e it , il
vient :
I =
γ
1
iz
R
1
2i
z −
1
z
,
1
2
z +
1
z
dz.
Par suite
I = 2π
Res
R
1
2i
z −
1
z
,
1
2
z +
1
z
,
la somme portant sur les pôles appartenant à D(0, 1).