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8 • Fonctions méromorphes
Démonstration. Soient f ∈ M(U )\{0} et A l’ensemble de ses pôles. Il est facile de vérifier que l’ensemble Z des zéros de f est une partie localement finie de
U (car U est connexe). Par suite, A ∪ Z est une partie localement finie de U et
g =
1
f
∈ H(U \(A ∪ Z)). Il est immédiat que, si a est zéro d’ordre m de f , alors a
est pôle d’ordre m de g. De même, il résulte de 8.2.4 que, si a est pôle de f , alors a
est une singularité illusoire de g. Ainsi, g ∈ M(U ).
Proposition 8.3.5. Soient U un ouvert de C et f ∈ M(U ). Alors :
(i) On a f ∈ M(U ). En outre f et f ont mêmes pôles. Si a est un pôle d’ordre m
de f , c’est un pôle d’ordre m + 1 de f .
(ii) Supposons U connexe et f = 0. Si g = f /f , on a g ∈ M(U ), et tous les pôles
de g sont simples.
Démonstration. C’est immédiat en utilisant 8.2.4.
8.4 THÉORÈME DES RÉSIDUS
8.4.1. Soient U un ouvert de C, f ∈ M(U ), et a ∈ U un pôle d’ordre m de f . La
partie principale de f en a est :
P (z) =
m
k=1
α −k (z − a)
−k .
On dit que α −1 est le résidu de f en a, et on note α −1 = Res(f, a).
Lemme. Si γ est un chemin fermé dans U tel que a /
∈ im γ, on a :
γ
P (z) dz = ind γ (a) Res(f, a).
Démonstration. D’après 6.4.2, il vient :
γ
P (z) dz =
γ
a −1
dz
z − a
= a −1 ind γ (a).
D’où l’assertion.
8.4.2. Indiquons comment on calcule pratiquement des résidus. Soient f ∈ M(U ) et
a un pôle d’ordre m de f . Au voisinage de a on peut écrire
f (z) =
g(z)
h(z)
,
où g, h sont holomorphes et h(z) = (z − a) m h 1 (z), avec h 1 (a) = 0.