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8.3 Fonctions méromorphes
101
8.2.5. Donnons un exemple de fonction vérifiant la condition (iii) de 8.2.3. Soit
f ∈ H(C ∗ ) définie par f (z) = e 1/z . Pour tout p ∈ N, la fonction z → z p f (z)
n’est bornée dans aucun disque épointé D ∗ (0, r), car
lim
n→+∞
n
p f
1
n
= +∞.
Les conditions (i) et (ii) de 8.2.3 n’étant pas vérifiées, la condition (iii) l’est.
8.3 FONCTIONS MÉROMORPHES
Définition 8.3.1. Soit U un ouvert de C. Une fonction f sur U est dite méromorphe
dans U s’il existe une partie localement finie A de U telle f ∈ H(U \A) et telle
que tout point de A soit un pôle de f . On note M(U ) l’ensemble des fonctions
méromorphes dans U .
8.3.2. Soient U un ouvert connexe de C et g, h ∈ H(U )\{0}. D’après le principe des
zéros isolés (4.3.3), l’ensemble A des zéros de h est une partie localement finie de U .
Notons f =
g
h
∈ H(U \A). Soient a ∈ A et m la multiplicité du zéro a de h. Au
voisinage de a, on a
h(z) = (z − a)
m h 1 (z),
avec h 1 ∈ H(U ) et h 1 (a) = 0 (4.3.5).
• Si g(a) = 0, a est un pôle d’ordre m de f .
• Supposons g(a) = 0 comme g = 0, on peut écrire g(z) = (z − a) p g 1 (z), avec
p ∈ N ∗ , g ∈ H(U ), et g 1 (a) = 0 (4.3.5). Ainsi,
f (z) = (z − a)
p−m f 1 (z),
où f 1 ∈ H(U ). Par suite :
Si p m, f a une singularité illusoire en a.
Si p < m, a est un pôle d’ordre m − p de f .
On a prouvé que f ∈ M(U ).
Remarque. Nous montrerons plus tard que, si U est un ouvert connexe, toute
fonction f ∈ M(U ) s’écrit f = g/h, avec g, h ∈ H(U ) et h = 0.
8.3.3. Soit U un ouvert de C. La réunion de deux parties localement finies de U
l’étant aussi, il est immédiat l’on peut définir la somme et le quotient de deux fonctions
méromorphes dans U , et que M(U ) a une structure naturelle de C-algèbre associative
unitaire.
Proposition 8.3.4. Si l’ouvert U est connexe, l’ensemble M(U ) est un corps.
8.3 Fonctions méromorphes
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8.2.5. Donnons un exemple de fonction vérifiant la condition (iii) de 8.2.3. Soit
f ∈ H(C ∗ ) définie par f (z) = e 1/z . Pour tout p ∈ N, la fonction z → z p f (z)
n’est bornée dans aucun disque épointé D ∗ (0, r), car
lim
n→+∞
n
p f
1
n
= +∞.
Les conditions (i) et (ii) de 8.2.3 n’étant pas vérifiées, la condition (iii) l’est.
8.3 FONCTIONS MÉROMORPHES
Définition 8.3.1. Soit U un ouvert de C. Une fonction f sur U est dite méromorphe
dans U s’il existe une partie localement finie A de U telle f ∈ H(U \A) et telle
que tout point de A soit un pôle de f . On note M(U ) l’ensemble des fonctions
méromorphes dans U .
8.3.2. Soient U un ouvert connexe de C et g, h ∈ H(U )\{0}. D’après le principe des
zéros isolés (4.3.3), l’ensemble A des zéros de h est une partie localement finie de U .
Notons f =
g
h
∈ H(U \A). Soient a ∈ A et m la multiplicité du zéro a de h. Au
voisinage de a, on a
h(z) = (z − a)
m h 1 (z),
avec h 1 ∈ H(U ) et h 1 (a) = 0 (4.3.5).
• Si g(a) = 0, a est un pôle d’ordre m de f .
• Supposons g(a) = 0 comme g = 0, on peut écrire g(z) = (z − a) p g 1 (z), avec
p ∈ N ∗ , g ∈ H(U ), et g 1 (a) = 0 (4.3.5). Ainsi,
f (z) = (z − a)
p−m f 1 (z),
où f 1 ∈ H(U ). Par suite :
Si p m, f a une singularité illusoire en a.
Si p < m, a est un pôle d’ordre m − p de f .
On a prouvé que f ∈ M(U ).
Remarque. Nous montrerons plus tard que, si U est un ouvert connexe, toute
fonction f ∈ M(U ) s’écrit f = g/h, avec g, h ∈ H(U ) et h = 0.
8.3.3. Soit U un ouvert de C. La réunion de deux parties localement finies de U
l’étant aussi, il est immédiat l’on peut définir la somme et le quotient de deux fonctions
méromorphes dans U , et que M(U ) a une structure naturelle de C-algèbre associative
unitaire.
Proposition 8.3.4. Si l’ouvert U est connexe, l’ensemble M(U ) est un corps.