100
8 • Fonctions méromorphes
(iii) Pour tout r > 0 tel que D(a, r) ⊂ U , l’ensemble f [D ∗ (a, r)] est dense dans C.
On dit alors que f a une singularité essentielle en a.
Démonstration. Supposons (iii) non réalisé. Il existe b ∈ C et r, ε ∈ R + tels que
D(a, r) ⊂ U et f [D ∗ (a, r)] ∩ D(b, ε) = ∅, c’est-à-dire |f (z) − b| ε pour tout
z ∈ D ∗ (a, r).
La fonction z →
1
f (z) − b
est holomorphe dans D ∗ (a, r) et est majorée en module
par 1/ε. D’après 8.2.2, elle se prolonge en g ∈ H
D(a, r)
.
• Si g(a) = 0, f (z) = b +
1
g(z)
a une fausse singularité en a, et (i) est vérifié.
• Supposons g(a) = 0, et notons m la multiplicité du zéro a de g. D’après 4.3.5, il
existe h ∈ H
D(a, r)
vérifiant h(a) = 0 et
g(z) = (z − a)
m h(z)
(1)
si z ∈ D(a, r). D’après (1), on peut supposer r assez petit pour que h(z) = 0 si
z ∈ D(a, r). Alors =
1
h
∈ H
D(a, r)
. D’autre part, (a) = 0 et, dans D ∗ (a, r) :
f (z) − b =
(z)
(z − a) m ·
Ecrivant
(z) =
∞
n=0
α n (z − a)
n ,
on obtient :
f (z) = b +
α 0
(z − a) m + · · · +
α m−1
z − a
+
∞
n=m
α n (z − a)
n−m .
La condition (ii) est vérifiée avec (a 1 , . . . , a −m ) = (α m−1 , . . . , α 0 ). L’unicité de la
suite des a i est immédiate en utilisant le principe du prolongement analytique.
Remarque. Avec les notations de 8.2.3, (ii), si m = 1 (respectivement
m = 2), on dit que a est un pôle simple (respectivement double) de f .
8.2.4. On prouve sans difficuté le résultat suivant :
Proposition. Avec les notations de 8.2.3, les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) f a un pôle d’ordre m en a.
(ii) Il existe r > 0 tel que D(a, r) ⊂ U et g ∈ H
D(a, r)
vérifiant g(a) = 0 et
f (z) =
g(z)
(z − a) m
pour tout z ∈ D ∗ (a, r).