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8.2 Singularités isolées
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8.2 SINGULARITÉS ISOLÉES
8.2.1. Soient a ∈ C et r > 0. On note
D
∗ (a, r) = D(a, r)\{a} = {z ∈ C ; 0 < [z − a| < r},
et on dit que D ∗ (a, r) est le disque épointé de centre a et de rayon r.
Soient U un ouvert de C, a ∈ U , et f ∈ H(U \{a}). On dit alors que f a une
singularité isolée en a.
Si f se prolonge en une fonction holomorphe au voisinage de a (le prolongement est
alors unique d’après le principe du prolongement analytique), on dit que la singularité
de f en a est illusoire, ou apparente, ou que a est une fausse singularité, ou encore
que a est un point régulier de f .
Proposition 8.2.2. Soient U un ouvert de C, a ∈ U , et f ∈ H(U \{a}). On suppose
qu’il existe r > 0 tel que f soit bornée sur U ∩ D ∗ (a, r). Alors a est un point régulier
de f .
Démonstration. Définissons une fonction g sur U par :
g(a) = 0 , g(z) = (z − a)f (z) si z = a.
Il est immédiat que g est continue sur U et holomorphe sur U \{a}. D’après 6.5.5, on
a g ∈ H(U ). Si r > 0 est assez petit, on a D(a, r) ⊂ U et g admet un développement
g(z) =
∞
n=0
α n (z − a)
n
pour |z − a| < r. On a α 0 = 0 puisque g(0) = 0. Par suite
z →
∞
n=1
α n z
n−1
prolonge f au voisinage de a.
Théorème 8.2.3. Soient U un ouvert de C, a ∈ U , et f ∈ H(U \{a}). Alors f vérifie
une et une seule des propriétés suivantes :
(i) f a une singularité illusoire en a.
(ii) Il existe une unique suite finie de nombres complexes (a −1 , a −2 , . . . , a −m ), avec
m 1 et a −m = 0, telle que la fonction
z → f (z) −
m
k=1
a −k
(z − a) k
ait une singularité illusoire en a. On dit alors que a est un pôle d’ordre m, ou de
multiplicité m, de f et que le polynôme
m
k=1
a −k (z − a)
−k
en (z − a) −1 est la partie principale de f en a.