Chapitre 8
Fonctions méromorphes
8.1 UN POINT DE TOPOLOGIE
8.1.1. Si A est une partie de C on note
◦
A son intérieur, et on dit que A est relativement
compacte si son adhérence est compacte.
Proposition. Soit U un ouvert de C. Il existe une suite (K n ) n de compacts de C
vérifiant les conditions suivantes :
(i) U est la réunion des K n et K n ⊂
◦
K n+1 pour tout n ∈ N.
(ii) Tout compact de U est contenu dans un K n .
Démonstration. Posons K 0 = ∅ et, si n 1 :
V n = {z ∈ C ; |z| > n} ∪
a∈C\U
D
a,
1
n
, K n = C\V n .
Alors K n est une partie fermée et bornée de C, donc compacte. Il est immédiat
que U est la réunion des K n . Si z ∈ K n , n 1, on vérifie aisément que
D
z,
1
n
−
1
n + 1
⊂ K n+1 . D’où (i).
L’ouvert U est la réunion des
◦
K n . Si K est un compact de U , il existe un entier p tel
que K ⊂
◦
K 1 ∪ · · · ∪
◦
K p . On a donc K ⊂ K p .
Corollaire 8.1.2. Soient U un ouvert de C et A une partie localement finie de U . Alors
A est au plus dénombrable.
Démonstration. C’est immédiat d’après 4.3.2 et 8.1.1.
Fonctions méromorphes
8.1 UN POINT DE TOPOLOGIE
8.1.1. Si A est une partie de C on note
◦
A son intérieur, et on dit que A est relativement
compacte si son adhérence est compacte.
Proposition. Soit U un ouvert de C. Il existe une suite (K n ) n de compacts de C
vérifiant les conditions suivantes :
(i) U est la réunion des K n et K n ⊂
◦
K n+1 pour tout n ∈ N.
(ii) Tout compact de U est contenu dans un K n .
Démonstration. Posons K 0 = ∅ et, si n 1 :
V n = {z ∈ C ; |z| > n} ∪
a∈C\U
D
a,
1
n
, K n = C\V n .
Alors K n est une partie fermée et bornée de C, donc compacte. Il est immédiat
que U est la réunion des K n . Si z ∈ K n , n 1, on vérifie aisément que
D
z,
1
n
−
1
n + 1
⊂ K n+1 . D’où (i).
L’ouvert U est la réunion des
◦
K n . Si K est un compact de U , il existe un entier p tel
que K ⊂
◦
K 1 ∪ · · · ∪
◦
K p . On a donc K ⊂ K p .
Corollaire 8.1.2. Soient U un ouvert de C et A une partie localement finie de U . Alors
A est au plus dénombrable.
Démonstration. C’est immédiat d’après 4.3.2 et 8.1.1.