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Solutions des exercices
97
On en déduit que, si |z| R > 1 et p, q ∈ N ∗ , avec p q, alors :
q
n=p
a n
z n
1 − z n
q
n=p
a n
+
q
n=p
|a n |
R n − 1
·
Dans les mêmes conditions et, si p est assez grand, il vient donc :
q
n=p
a n
z n
1 − z n
q
n=p
a n
+ 2
q
n=p
|a n |
R n ·
Soit ε > 0. D’après le critère de Cauchy, si p est assez grand :
q
n=p
a n
ε.
D’autre part, le même raisonnement qu’en 1 montre que, si p est assez grand, on a :
2
q
n=p
|a n |
R n ε.
On déduit alors du critère de Cauchy uniforme que la série converge uniformément sur
tout ensemble {z ∈ C ; |z| R}, avec R > 1.
3. Envisageons le cas où a n =
(−1) n
n
· Soient R > 1 et K = {z ∈ C ; |z| = R}.
Alors :
sup
a n
z n
1 − z n
; z ∈ K
=
R n
n(R n − 1)
·
Le dernier terme est équivalent à
1
n
quand n tend vers +∞. On en déduit que la série
ne peut converger normalement sur tout compact de C.