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7 • Propriétés des fonctions holomorphes
Soient a ∈ U et α > 0 tels que |t − a| 2α pour tout t ∈ [0, 1]. Si z ∈ U vérifie
|a − z| α, on a |z − t| |a − t| − |a − z| α. Pour un tel z ∈ U , on obtient alors :
f (z) − f (a)
z − a
−
1
−1
g(t)
(t − a) 2 dt
=
(z − a)
1
−1
g(t)
(t − z)(t − a) 2 dt
|z − a|
4α 3
1
−1
|g(t)| dt.
Par suite, f ∈ H(U ) et, si z ∈ U :
f
(z) =
1
−1
g(t)
(t − z) 2 dt.
Exercice 7.5. Fixons une base orthonormée directe de R 2 de manière à identifier R 2
à C. Notons a 1 , . . . , a n les affixes de A 1 , . . . , A n et z celle de M . Il vient :
f (z) = |(z − a 1 ) · · · (z − a n )|.
Le résultat est donc une conséquence immédiate de 7.2.5.
Exercice 7.6. C’est clair si g = 0 ou si f = 0. Supposons ces cas exclus. Soit
a un zéro de g. D’après 4.3.5, il existe p ∈ N ∗ et une fonction entière g 1 tels que
g(z) = (z − a) p g 1 (z) et g 1 (a) = 0. D’après les hypothèses, a est un zéro de f , et il
existe q ∈ N ∗ et une fonction entière f 1 vérifiant f (z) = (z − a) q f 1 (z) et f 1 (a) = 0.
Comme |f (z)| |g(z)|, en faisant tendre z vers a, on voit que q p. Il en résulte
que la fonction z → f (z)/g(z) se prolonge en une fonction entière h. D’après les
hypothèses, on a |h(z)| 1 pour tout z ∈ C. Le théorème de Liouville montre que h
est constante. Il existe donc bien λ ∈ C tel que f (z) = λg(z) pour tout z ∈ C.
Exercice 7.7.
1. Soit K un compact de D. Il existe r ∈ ]0, 1[ tel que K ⊂ D (0, r). Si z ∈ K, on a
alors :
a n
z n
1 − z n
|a n |
r n
1 − r n ·
Il existe N ∈ N ∗ tel que 2(1 − r n ) 1 si n n. Si n N et z ∈ K, on obtient
donc :
a n
z n
1 − z n
2|a n |r
n .
La série
a n étant convergente, il résulte du lemme d’Abel que la série entière
a n z n a un rayon de convergence au moins égal à 1. Par suite, la série
|a n |r n
converge si 0 r < 1. D’où le résultat.
2. Si u = 1, on a :
u
1 − u
= −1 +
1
1 − u
·
7 • Propriétés des fonctions holomorphes
Soient a ∈ U et α > 0 tels que |t − a| 2α pour tout t ∈ [0, 1]. Si z ∈ U vérifie
|a − z| α, on a |z − t| |a − t| − |a − z| α. Pour un tel z ∈ U , on obtient alors :
f (z) − f (a)
z − a
−
1
−1
g(t)
(t − a) 2 dt
=
(z − a)
1
−1
g(t)
(t − z)(t − a) 2 dt
|z − a|
4α 3
1
−1
|g(t)| dt.
Par suite, f ∈ H(U ) et, si z ∈ U :
f
(z) =
1
−1
g(t)
(t − z) 2 dt.
Exercice 7.5. Fixons une base orthonormée directe de R 2 de manière à identifier R 2
à C. Notons a 1 , . . . , a n les affixes de A 1 , . . . , A n et z celle de M . Il vient :
f (z) = |(z − a 1 ) · · · (z − a n )|.
Le résultat est donc une conséquence immédiate de 7.2.5.
Exercice 7.6. C’est clair si g = 0 ou si f = 0. Supposons ces cas exclus. Soit
a un zéro de g. D’après 4.3.5, il existe p ∈ N ∗ et une fonction entière g 1 tels que
g(z) = (z − a) p g 1 (z) et g 1 (a) = 0. D’après les hypothèses, a est un zéro de f , et il
existe q ∈ N ∗ et une fonction entière f 1 vérifiant f (z) = (z − a) q f 1 (z) et f 1 (a) = 0.
Comme |f (z)| |g(z)|, en faisant tendre z vers a, on voit que q p. Il en résulte
que la fonction z → f (z)/g(z) se prolonge en une fonction entière h. D’après les
hypothèses, on a |h(z)| 1 pour tout z ∈ C. Le théorème de Liouville montre que h
est constante. Il existe donc bien λ ∈ C tel que f (z) = λg(z) pour tout z ∈ C.
Exercice 7.7.
1. Soit K un compact de D. Il existe r ∈ ]0, 1[ tel que K ⊂ D (0, r). Si z ∈ K, on a
alors :
a n
z n
1 − z n
|a n |
r n
1 − r n ·
Il existe N ∈ N ∗ tel que 2(1 − r n ) 1 si n n. Si n N et z ∈ K, on obtient
donc :
a n
z n
1 − z n
2|a n |r
n .
La série
a n étant convergente, il résulte du lemme d’Abel que la série entière
a n z n a un rayon de convergence au moins égal à 1. Par suite, la série
|a n |r n
converge si 0 r < 1. D’où le résultat.
2. Si u = 1, on a :
u
1 − u
= −1 +
1
1 − u
·