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Solutions des exercices
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SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 7.1. Posons h = ϕ α1 · · · ϕ αn . L’application z → f (z)/h(z) se prolonge en
une fonction holomorphe dans D.
Fixons w ∈ D, et notons m = max{|w|, |α 1 |, . . . , |α n |}. Si m < r < 1, le principe
du maximum implique que
|g(w)|
1
min{|h(z)| ; |z| = r}
·
On sait (7.3.3) que |h(z)| = 1 si |z| = 1. D’où :
lim
r→1
min{|h(z)| ; |z| = r} = 1.
On en déduit que |g(w)| 1, puis le résultat.
Exercice 7.2. Soient C la frontière de D et M la valeur commune des |f (z)| pour
z ∈ C. D’après le principe du maximum, si z ∈ D, on a |f (z)| M .
Supposons f sans zéro dans D. Alors 1/f est holomorphe dans U et, le principe du
maximum montre à nouveau que 1/|f (z)| 1/M si z ∈ D. Ainsi, |f | est constante
sur D. Il résulte de 5.2.7 que f est constante sur D. Comme U est connexe, on déduit
de 4.3.3 que f est constante. Contradiction. Par suite, f a au moins un zéro dans U .
Exercice 7.3. Si a ∈ D, ϕ a a la même signification qu’en 7.3.3. On sait que ϕ a est un
automorphisme analytique de D dont la bijection réciproque est ϕ −a .
Soient u ∈ D et g = ϕ f (u) ◦f ◦ϕ u . On a g(D) ⊂ D et g(0) = 0. Compte tenu
du lemme de Schwarz, on obtient |g(v)| |v| pour tout v ∈ U . Par conséquent,
|ϕ f (u) ◦f (v)| |ϕ u (v)|, et ceci est la première inégalité à établir. En divisant les deux
membres de cette égalité par |u − v| et en faisant tendre v vers u, on a alors la seconde
inégalité.
Exercice 7.4. Soient a, b ∈ U et p, q ∈ N. On va montrer que l’intégrale
I(a, b) =
1
−1
g(t)
(t − a) p (t − b) q dt
est convergente. En effet, si z ∈ U , l’application t → |t − u| est continue et à valeurs
non nulles sur le compact [−1, 1]. Il existe donc A > 0 tel que |t − a| A et
|t − b| A pour tout t ∈ [−1, 1]. Si −1 < t < 1, on a donc :
g(t)
(t − a) p (t − b) q
|g(t)|
A p+q ·
On a obtenu la convergence de I(a, b). En particulier, l’intégrale définissant f est
convergente.