94
7 • Propriétés des fonctions holomorphes
EXERCICES
Exercice 7.1. Si a ∈ D = D(0, 1), on utilise la notation ϕ a de 7.3.3. Soient
f ∈ H(D) vérifiant |f (z)| 1 pour tout z ∈ D et α 1 , . . . , α n des zéros de f .
Montrer que |f (z)| |ϕ α1 (z)| · · · |ϕ αn (z)| pour tout z ∈ D.
Exercice 7.2. Soient U un ouvert connexe, D un disque ouvert tel que D ⊂ U et
f ∈ H(U ), non constante. Montrer que, si |f | est constante sur la frontière de D, alors
f a au moins un zéro dans D.
Exercice 7.3. Soient D = D(0, 1) et f ∈ H(U ) vérifiant |f (z)| < 1 pour tout z ∈ D.
Montrer que, si u, v ∈ D, on a :
f (u) − f (v)
1 − f (u)f (v)
u − v
1 − uv
,
|f (u)|
1 − |f (u)| 2
1
1 − |u| 2 ·
Exercice 7.4. Soient U = C\[−1, 1] et g : ]− 1, 1[→ R une application continue telle
que l’intégrale
1
−1
|g(t)| dt soit convergente. Prouver que
z → f (z) =
1
−1
g(t)
z − t
dt
est une fonction holomorphe sur U .
Exercice 7.5. Soient U un ouvert connexe borné non vide de R 2 et A 1 , . . . , A n des
points de R 2 . Si M ∈ R 2 , on note f (M ) le produit des distances de M aux A i . Si M
décrit U , montrer que f atteint son maximum en un point de la frontière de U .
Exercice 7.6. Soient f, g deux fonctions entières vérifiant |f (z)| |g(z)| pour tout
z ∈ C. Prouver qu’il existe λ ∈ C tel que f (z) = λg(z) pour tout z ∈ C.
Exercice 7.7. Soient D = D(0, 1) et C = {z ∈ C ; |z| > 1}. On désigne par (a n ) n1
une suite de nombres complexes telle que la série
a n converge, et on pose :
S(z) =
∞
n=1
a n
z n
1 − z n ·
1. Montrer que la série S converge normalement sur tout compact de D.
2. Prouver que la série S converge uniformément sur tout compact de C.
3. On suppose que a n = (−1) n n −1 . La série S converge t-elle normalement sur tout
compact de C ?