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7.5 Holomorphie et intégration
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On a donc, pour (z, x) ∈ D (a, r) × X :
|h(z, x)|
3
r 2 g K (x).
(6)
On en déduit :
X
h(z, x) dµ(x)
3
r 2
X
g K (x) dµ(x).
D’après (2), si z ∈ D(a, r), il vient alors :
F (z) − F (a) − (z − a)
X
∂f
∂z
(a, x) dµ(x)
3|z − a| 2
r 2
X
g K (x) dµ(x).
Ceci nous prouve que F est dérivable en a et que :
F
(a) =
X
∂f
∂z
(a, x) dµ(x).
On a obtenu le résultat.
7.5.2. Notons P = {z ∈ C ; Re(z) > 0}. On laisse le soin au lecteur de vérifier que,
si z ∈ P , l’intégrale
Γ(z) =
+∞
0
t
z−1 e
−t dt
est convergente.
Tout compact de P est contenu dans un ensemble :
P r,R = {z ∈ P ; 0 < r Re(z) R}.
Définissons g r,R par
g r,R (t) = t
r−1 e
−t si 0 < t 1 et g r,R (t) = t
R−1 e
−t si t > 1.
La fonction g r,R est intégrable sur [0, +∞[, et on a |t z−1 e −t | g r,R (t) si t > 0 et
z ∈ P r,R . Compte tenu de 7.5.1, on voit que Γ ∈ H(P ) et que, pour z ∈ P , on a :
Γ
(z) =
+∞
0
t
z−1 e
−t ln t dt.