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7 • Propriétés des fonctions holomorphes
Il en résulte que x →
∂f
∂z
(z, t) est une limite simple de fonctions µ-mesurables, donc
est µ-mesurable. Par récurrence sur n, on voit que chaque fonction x →
∂ n f
∂z n (z, x)
est µ-mesurable.
2) Soient K un compact de U et L = {ζ ∈ U ; d(ζ, K) r}, avec r = 1 si U = C
et r =
1
2
d(K, C\U ) si U = C.
L’élément x ∈ X étant fixé, les inégalités de Cauchy fournissent :
sup
∂ n f
∂z n (z, x)
; z ∈ K
1
r n sup{|f (z, x)| ; z ∈ L}.
On en déduit que, si z ∈ K et x ∈ X, on a :
∂ n f
∂z n (z, t)
g L (x).
(1)
D’après l’alinéa 1 et l’inégalité (1), chaque fonction x →
∂ n f
∂z n (z, x) est µ-intégrable.
On peut donc définir les fonctions sur U :
z →
X
∂ n f
∂z n (z, x) dµ(x).
3) Soit a ∈ U . Fixons r > 0 tel que D (a, r) ⊂ U , et définissons h : U × X → C
par :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
h(z, x) =
1
(z − a) 2
f (z, x) − f (a, x) − (z − a)
∂f
∂z
(a, x)
si z = a,
h(a, x) =
1
2
∂ 2 f
∂z 2 (a, x).
(2)
Pour chaque x ∈ X, z → h(z, x) est holomorphe sur U . D’après le principe du
maximum, si z ∈ D(a, r), on a :
|h(z, x)| sup{|h(ζ, x)| ; |ζ − a| = r}.
(3)
Notons K le compact D (a, r). Si (z, x) ∈ K × X, alors :
|f (z, x)| g K (x).
(4)
D’autre part, d’après les inégalités de Cauchy :
∂f
∂z
(a, x)
1
r
g K (x).
(5)
Compte tenu de (2), (4) et (5), il résulte alors de (3) que :
|h(z, x)|
1
r 2 [g K (x) + g K (x) +
r
r
g K (x)].