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7.5 Holomorphie et intégration
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Par suite, d’après les hypothèses et 2.6.6, si k ∈ N, on obtient :
∞
n=k
|f
n (z)|
1
2πr
∞
n=k
2π
0
|f (z + re
it )| dt =
1
2πr
2π
0
∞
n=k
|f (z + re
it )|
dt.
D’où :
∞
n=k
|f
n |
K
1
r
∞
n=k
|f n |
L
.
Ceci prouve (iii).
7.5 HOLOMORPHIE ET INTÉGRATION
7.5.1. On va donner une méthode de construction de fonctions holomorphes. Pour
cela, nous utiliserons des propriétés de l’intégration au sens de Lebesgue.
Dans la suite, on désigne par X un espace topologique localement compact et par µ
une mesure positive sur X. On fixe un ouvert U de C.
On considère une fonction f : U × X → C, (z, x) → f (z, x). On suppose vérifiées
les conditions suivantes :
(i) Pour tout x ∈ X, l’application f x : U → C, z → f (z, x) est holomorphe sur U . Si
n ∈ N et (z, x) ∈ U × X, on pose :
f
(n)
x (z) =
∂ n f
∂z n (z, x).
(ii) Pour tout z ∈ U , l’application x → f (z, x) est µ-intégrable, et l’on définit une
fonction sur U par :
F (z) =
X
f (z, x) dµ(x).
Théorème. On conserve les notations et hypothèses précédentes et on suppose que,
pour tout compact K de U , il existe une application µ-intégrable g K : X → R + telle
que
|f (z, x)| g K (x)
pour tout (z, x) ∈ K × X. Alors F ∈ H(U ) et, pour z ∈ U et n ∈ N, on a :
F
(n) (z) =
X
∂ n f
∂z n (z, x) dµ(x).
Démonstration. 1) Si (z, x) ∈ U × X, on a :
∂f
∂z
(z, x) = lim
n→+∞
n
f
z +
1
n
, x
− f (z, x)
.