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7 • Propriétés des fonctions holomorphes
Il est immédiat que L est un compact de U . D’autre part, les inégalités de Cauchy
(7.1.1) appliquées au disque D (z, r) (au lieu de D(0, r)) et à f − f n montrent que, si
z ∈ K, on a :
|f
(z) − f
n (z)|
1
r
f − f n D (z,r) .
Par suite :
f
− f
n K
1
r
f − f n L .
D’après les hypothèses, on a obtenu le résultat.
Théorème 7.4.3. Soient U un ouvert de C et
f n une série de fonctions holomorphes
sur U convergeant uniformément sur tout compact. Soit f la somme de cette série.
Alors :
(i) On a f ∈ H(U ). La série
f
n converge uniformément sur tout compact vers f .
(ii) Si la série
f n est normalement convergente sur tout compact, il en est de même
de la série
f
n .
(iii) Si la série
|f n | est uniformément convergente sur tout compact, il en est de
même de la série
|f
n |.
Démonstration. (i) En utilisant les sommes partielles de la série, c’est un cas particulier de 7.4.2.
(ii) Soit K un compact de U . Si U = C, on pose L = {ζ ∈ C ; d(ζ, K) 1} et, si
U = C :
L =
ζ ∈ U ; d(ζ, K)
1
2
d(K, C\U )
.
L’ensemble L est un compact de U . Si z ∈ K et n ∈ N, les inégalités de Cauchy
montrent que
|f
n (z)|
1
r
f n L ,
où r = 1 si U = C, et r =
1
2
d(K, C\U ) si U = C, car D (z, r) ⊂ L. D’où :
f
n K
1
r
f n L .
On a obtenu (ii).
(iii) Conservons les notations K et L précédentes. Si D (z, r) ⊂ U , il résulte de 6.5.2
que
f
n (z) =
1
2πr
2π
0
f n (z + re
it ) dt ⇒ |f
n (z)|
1
2πr
2π
0
|f n (z + re
it )| dt.