© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
7.4 Suites et séries
89
Démonstration. Il est immédiat que les fonctions précédentes sont des éléments de
Aut(P ). Soit f ∈ Aut(P ). D’après ce qui précède et 7.3.3, il existe a ∈ D et t ∈ R
tels que
f (z) = h
e
it ϕ a
(z)
pour tout z ∈ P . On trouve alors
f (z) =
−z(α + α) + i(β − β)
zi(α − α) − (β + β)
,
où α = e −it/2 (1 − a) et β = e −it/2 (1 + a). On en déduit facilement l’assertion.
7.4 SUITES ET SÉRIES
7.4.1. Soient U un ouvert de C et f = (f n ) n une suite de fonctions sur U . On dit
que f converge uniformément sur tout compact vers une fonction f sur U si, pour tout
compact K de U , la suite (f n |K) n converge uniformément vers f |K (voir 2.2.1).
L’espace U étant localement compact, si les f n sont continues sur U et convergent
uniformément sur tout compact vers f , la fonction f est continue sur U (2.3.3).
Si
f n est une série de fonctions sur U , on définit de même la convergence uniforme
sur tout compact ou la convergence normale sur tout compact de cette série.
Dans la suite, si K est un compact de C et si f est une fonction continue sur K, on
posera :
f K = sup{|f (z)| ; z ∈ K}.
Théorème 7.4.2. Soient U un ouvert de C et f = (f n ) n une suite d’éléments de H(U )
convergeant uniformément sur tout compact vers une fonction f . Alors :
(i) On a f ∈ H(U ).
(ii) Si j ∈ N, la suite (f
(j)
n ) n converge uniformément sur tout compact vers f (j) .
Démonstration. (i) La fonction f est continue sur U (7.4.1). Si ∆ est un triangle de
U , ∂∆ est compact, et il vient :
∂∆
[f (z) − f n (z)] dz
long(∂∆)f − f n ∂∆ .
Il résulte alors du théorème de Morera (6.5.4) que f ∈ H(U ).
(ii) Par récurrence sur l’entier j, il suffit de prouver le résultat pour j = 1. Soit K un
compact de U . Définissons r par r = 1 si U = C et, si U = C :
r =
1
2
d(K, C\U ) =
1
2
inf{|z − ζ| ; z ∈ K, ζ ∈ C\U }.
Comme K est compact, il est bien connu que r est strictement positif. En outre,
D (z, r) ⊂ U pour tout z ∈ K. Posons :
L =
z∈K
D
(z, r) = {ζ ∈ U ; d(ζ, K) r}.
7.4 Suites et séries
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Démonstration. Il est immédiat que les fonctions précédentes sont des éléments de
Aut(P ). Soit f ∈ Aut(P ). D’après ce qui précède et 7.3.3, il existe a ∈ D et t ∈ R
tels que
f (z) = h
e
it ϕ a
(z)
pour tout z ∈ P . On trouve alors
f (z) =
−z(α + α) + i(β − β)
zi(α − α) − (β + β)
,
où α = e −it/2 (1 − a) et β = e −it/2 (1 + a). On en déduit facilement l’assertion.
7.4 SUITES ET SÉRIES
7.4.1. Soient U un ouvert de C et f = (f n ) n une suite de fonctions sur U . On dit
que f converge uniformément sur tout compact vers une fonction f sur U si, pour tout
compact K de U , la suite (f n |K) n converge uniformément vers f |K (voir 2.2.1).
L’espace U étant localement compact, si les f n sont continues sur U et convergent
uniformément sur tout compact vers f , la fonction f est continue sur U (2.3.3).
Si
f n est une série de fonctions sur U , on définit de même la convergence uniforme
sur tout compact ou la convergence normale sur tout compact de cette série.
Dans la suite, si K est un compact de C et si f est une fonction continue sur K, on
posera :
f K = sup{|f (z)| ; z ∈ K}.
Théorème 7.4.2. Soient U un ouvert de C et f = (f n ) n une suite d’éléments de H(U )
convergeant uniformément sur tout compact vers une fonction f . Alors :
(i) On a f ∈ H(U ).
(ii) Si j ∈ N, la suite (f
(j)
n ) n converge uniformément sur tout compact vers f (j) .
Démonstration. (i) La fonction f est continue sur U (7.4.1). Si ∆ est un triangle de
U , ∂∆ est compact, et il vient :
∂∆
[f (z) − f n (z)] dz
long(∂∆)f − f n ∂∆ .
Il résulte alors du théorème de Morera (6.5.4) que f ∈ H(U ).
(ii) Par récurrence sur l’entier j, il suffit de prouver le résultat pour j = 1. Soit K un
compact de U . Définissons r par r = 1 si U = C et, si U = C :
r =
1
2
d(K, C\U ) =
1
2
inf{|z − ζ| ; z ∈ K, ζ ∈ C\U }.
Comme K est compact, il est bien connu que r est strictement positif. En outre,
D (z, r) ⊂ U pour tout z ∈ K. Posons :
L =
z∈K
D
(z, r) = {ζ ∈ U ; d(ζ, K) r}.