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7 • Propriétés des fonctions holomorphes
Démonstration. Si f : C → D(0, 1) est holomorphe, c’est une fonction entière
bornée, donc constante (7.1.2). Ainsi, C et D(0, 1) ne sont pas isomorphes. Il est
immédiat de vérifier que les applications
C → D , z →
z
1 + |z|
et D → C , ζ →
ζ
1 − |ζ|
sont des bijections continues réciproques l’une de l’autre. Ainsi, D et C sont homéomorphes.
7.3.3. Posons D = D(0, 1). Si a ∈ D, on définit ϕ a : D → C par :
ϕ a (z) =
z − a
1 − az
·
On remarque que ϕ a (z) est encore défini pour |z| = 1 et que, si t ∈ R :
|ϕ a (e
it )| =
e it − a
e −it − a
= 1.
Il résulte de 7.2.5 que ϕ a (D) ⊂ D. D’autre part, on vérifie immédiatement que
ϕ a ◦ϕ −a = id D . Par suite, ϕ a ∈ Aut(D).
Théorème. L’ensemble Aut(D) est constitué des applications λϕ a , avec |λ| = 1 et
a ∈ D.
Démonstration. Soient f ∈ Aut(D), a = f (0), et g = ϕ a ◦f . On a g ∈ Aut(D)
et g(0) = 0. D’après 7.3.1, il vient |g(z)| |z| pour tout z ∈ D. En utilisant
l’application réciproque de g, on obtient de même |z| |g(z)| pour tout z ∈ D.
Il résulte à nouveau de 7.3.1 qu’il existe λ ∈ C(0, 1) tel que g(z) = λz pour tout
z ∈ D. Alors :
f (z) = ϕ −a (λz) =
λz + a
1 + aλz
= λ
z + aλ
1 + aλz
·
On a obtenu le résultat.
7.3.4. Soit P = {z ∈ C ; Re(z) > 0}. On vérifie facilement que les applications
h : D → P , z → i
1 + z
1 − z
et : P → D , ζ →
ζ − i
ζ + i
sont des bijections réciproques l’une de l’autre.
Théorème 7.3.5. L’ensemble Aut(P ) est constitué des applications
z →
az + b
cz + d
,
avec a, b, c, d ∈ R et ad − bc > 0.