© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
7.3 Lemme de Schwarz et applications
87
Démonstration. D’après les hypothèses, U est compact, et il existe z 0 ∈ U tel que
|f (z 0 )| = N = sup{|f (z)| ; z ∈ U }.
S’il existe a ∈ U tel que |f (a)| = N , f est constante sur U (7.2.3). Si ce n’est pas le
cas, pour tout z ∈ U , on a |f (z)| < N, et nécessairement z 0 ∈ U \U . On en déduit
que M = N et que |f (z)| < M pour tout z ∈ U .
7.3 LEMME DE SCHWARZ ET APPLICATIONS
Théorème 7.3.1. (Lemme de Schwarz). Soit f ∈ H
D(0, 1)
vérifiant f (0) = 0 et
|f (z)| < 1 pour tout z ∈ D(0, 1). On a :
(i) |f (z)| |z| pour tout z ∈ D(0, 1).
(ii) |f (0)| 1.
En outre, si |f (0)| = 1, ou s’il existe z ∈ D(0, 1)\{0} tel que |f (z)| = |z|, alors il
existe λ ∈ C vérifiant |λ| = 1 et f (z) = λz pour tout z ∈ D(0, 1).
Démonstration. Notons D = D(0, 1), et définissons g : D → C par
g(0) = f
(0) , g(z) =
f (z)
z
si z = 0.
L’application g est continue sur D et holomorphe dans D\{0}. On a donc g ∈ H(D)
d’après 6.5.5.
Notons M f (r) = sup{|f (z)| ; |z| = r}, M g (r) = sup{|g(z)| ; |z| = r} pour
0 r < 1. D’après 7.2.5, si |z| r < 1, on obtient :
|g(z)| M g (r) , |g(z)|
1
r
M f (r)
1
r
.
En faisant tendre r vers 1, on obtient |g(z)| 1 pour tout z ∈ D.
S’il existe z 0 ∈ D tel que |g(z 0 )| = 1, alors g a un maximum relatif en z 0 . Le principe
du maximum montre que g est constante dans un voisinage de z 0 , donc constante sur
D d’après le théorème du prolongement analytique. Ainsi, g(z) = λ, avec |λ| = 1,
pour tout z ∈ D, donc f (z) = λz.
7.3.2. Soient U, V des ouverts de C. Un isomorphisme analytique de U sur V est
une bijection f de U sur V telle que f ∈ H(U ) et g ∈ H(V ), où g est l’application
réciproque de f . On note Isom(U, V ) l’ensemble des isomorphismes analytiques de
U sur V , et on dit que U et V sont isomorphes si Isom(U, V ) = ∅. On écrit Aut(U )
pour Isom(U, U ) ; un élément de Aut(U ) est appelé un automorphisme (analytique)
de U .
Il est clair que si U et V sont isomorphes, ils sont homéomorphes. La réciproque est
inexacte comme le montre le résultat suivant :
Proposition. Les ensembles C et D(0, 1) sont homéomorphes mais non isomorphes.
7.3 Lemme de Schwarz et applications
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Démonstration. D’après les hypothèses, U est compact, et il existe z 0 ∈ U tel que
|f (z 0 )| = N = sup{|f (z)| ; z ∈ U }.
S’il existe a ∈ U tel que |f (a)| = N , f est constante sur U (7.2.3). Si ce n’est pas le
cas, pour tout z ∈ U , on a |f (z)| < N, et nécessairement z 0 ∈ U \U . On en déduit
que M = N et que |f (z)| < M pour tout z ∈ U .
7.3 LEMME DE SCHWARZ ET APPLICATIONS
Théorème 7.3.1. (Lemme de Schwarz). Soit f ∈ H
D(0, 1)
vérifiant f (0) = 0 et
|f (z)| < 1 pour tout z ∈ D(0, 1). On a :
(i) |f (z)| |z| pour tout z ∈ D(0, 1).
(ii) |f (0)| 1.
En outre, si |f (0)| = 1, ou s’il existe z ∈ D(0, 1)\{0} tel que |f (z)| = |z|, alors il
existe λ ∈ C vérifiant |λ| = 1 et f (z) = λz pour tout z ∈ D(0, 1).
Démonstration. Notons D = D(0, 1), et définissons g : D → C par
g(0) = f
(0) , g(z) =
f (z)
z
si z = 0.
L’application g est continue sur D et holomorphe dans D\{0}. On a donc g ∈ H(D)
d’après 6.5.5.
Notons M f (r) = sup{|f (z)| ; |z| = r}, M g (r) = sup{|g(z)| ; |z| = r} pour
0 r < 1. D’après 7.2.5, si |z| r < 1, on obtient :
|g(z)| M g (r) , |g(z)|
1
r
M f (r)
1
r
.
En faisant tendre r vers 1, on obtient |g(z)| 1 pour tout z ∈ D.
S’il existe z 0 ∈ D tel que |g(z 0 )| = 1, alors g a un maximum relatif en z 0 . Le principe
du maximum montre que g est constante dans un voisinage de z 0 , donc constante sur
D d’après le théorème du prolongement analytique. Ainsi, g(z) = λ, avec |λ| = 1,
pour tout z ∈ D, donc f (z) = λz.
7.3.2. Soient U, V des ouverts de C. Un isomorphisme analytique de U sur V est
une bijection f de U sur V telle que f ∈ H(U ) et g ∈ H(V ), où g est l’application
réciproque de f . On note Isom(U, V ) l’ensemble des isomorphismes analytiques de
U sur V , et on dit que U et V sont isomorphes si Isom(U, V ) = ∅. On écrit Aut(U )
pour Isom(U, U ) ; un élément de Aut(U ) est appelé un automorphisme (analytique)
de U .
Il est clair que si U et V sont isomorphes, ils sont homéomorphes. La réciproque est
inexacte comme le montre le résultat suivant :
Proposition. Les ensembles C et D(0, 1) sont homéomorphes mais non isomorphes.