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7 • Propriétés des fonctions holomorphes
Démonstration. Si D (a, r) ⊂ U , il existe R > r tel que D(a, R) ⊂ U . Si γ est le
cercle C(a, r) parcouru dans le sens direct, en appliquant 6.5.2 (ii) à D(a, R), il vient :
f (a) =
1
2πi
γ
f (z)
z − a
dz =
1
2π
2π
0
f (a + re
it ) dt.
D’où l’assertion.
7.2.3. Soient U un ouvert de C et f une fonction sur U . Par abus de langage, on dit
que f a un maximum relatif en a ∈ U s’il existe un voisinage V de a dans U tel que
|f (z)| |f (a)| pour tout z ∈ V .
On dit que f vérifie le principe du maximum dans U si elle est constante au voisinage
de tout point a ∈ U en lequel elle a un maximum relatif.
Supposons que f vérifie le principe du maximum dans U , et que U soit connexe. Il
est immédiat que l’ensemble des points de U en lesquels f a un maximum relatif est
ouvert et fermé dans U . Par suite, si f a un maximum relatif en un point de U , alors f
est constante.
Théorème 7.2.4. Soient U un ouvert de C et f une fonction continue sur U vérifiant
la propriété de moyenne dans U . Alors f vérifie le principe du maximum dans U .
Démonstration. Soient a ∈ U en lequel f a un maximum relatif et R > 0 vérifiant
D(a, R) ⊂ U et |f (z)| [f (a)| pour tout z ∈ D(a, R). Le résultat étant évident si
f (a) = 0, nous supposerons ce cas exclu. Quite à changer f en (f (a)/|f (a)| 2 )f , on
peut supposer que f (a) = |f (a)| > 0. Puisque f vérifie la propriété de moyenne, si
0 < r < R, on a :
0 =
1
2π
2π
0
[f (a) − f (a + re
it )] dt =
1
2π
2π
0
[|f (a)| − f (a + re
it )] dt.
En particulier :
2π
0
[|f (a)| − Re
f (a + re
it )
] dt = 0.
La fonction t → |f (a)| − Re
f (a + re it )
est continue, à valeurs réelles positives ou
nulles sur [0, 2π], et d’intégrale nulle sur cet intervalle. Elle est donc nulle. Ainsi, pour
r < R et 0 t 2π, on obtient |f (a)| = Re
f (a + re it )
. Comme |f (z)| |f (a)|
si z ∈ D(a, R), on a Im
f (z)
= 0 si z ∈ D(a, R). On a prouvé que f est constante
sur D(a, R).
Proposition 7.2.5. Soient U un ouvert connexe et borné de C, et f une fonction
continue sur l’adhérence U de U et vérifiant le principe du maximum dans U . Si M
est le maximum de |f | sur la frontière U \U de U , on a
|f (z)| M
pour tout z ∈ U . En outre, s’il existe a ∈ U tel que |f (a)| = M , alors f est constante
sur U .
7 • Propriétés des fonctions holomorphes
Démonstration. Si D (a, r) ⊂ U , il existe R > r tel que D(a, R) ⊂ U . Si γ est le
cercle C(a, r) parcouru dans le sens direct, en appliquant 6.5.2 (ii) à D(a, R), il vient :
f (a) =
1
2πi
γ
f (z)
z − a
dz =
1
2π
2π
0
f (a + re
it ) dt.
D’où l’assertion.
7.2.3. Soient U un ouvert de C et f une fonction sur U . Par abus de langage, on dit
que f a un maximum relatif en a ∈ U s’il existe un voisinage V de a dans U tel que
|f (z)| |f (a)| pour tout z ∈ V .
On dit que f vérifie le principe du maximum dans U si elle est constante au voisinage
de tout point a ∈ U en lequel elle a un maximum relatif.
Supposons que f vérifie le principe du maximum dans U , et que U soit connexe. Il
est immédiat que l’ensemble des points de U en lesquels f a un maximum relatif est
ouvert et fermé dans U . Par suite, si f a un maximum relatif en un point de U , alors f
est constante.
Théorème 7.2.4. Soient U un ouvert de C et f une fonction continue sur U vérifiant
la propriété de moyenne dans U . Alors f vérifie le principe du maximum dans U .
Démonstration. Soient a ∈ U en lequel f a un maximum relatif et R > 0 vérifiant
D(a, R) ⊂ U et |f (z)| [f (a)| pour tout z ∈ D(a, R). Le résultat étant évident si
f (a) = 0, nous supposerons ce cas exclu. Quite à changer f en (f (a)/|f (a)| 2 )f , on
peut supposer que f (a) = |f (a)| > 0. Puisque f vérifie la propriété de moyenne, si
0 < r < R, on a :
0 =
1
2π
2π
0
[f (a) − f (a + re
it )] dt =
1
2π
2π
0
[|f (a)| − f (a + re
it )] dt.
En particulier :
2π
0
[|f (a)| − Re
f (a + re
it )
] dt = 0.
La fonction t → |f (a)| − Re
f (a + re it )
est continue, à valeurs réelles positives ou
nulles sur [0, 2π], et d’intégrale nulle sur cet intervalle. Elle est donc nulle. Ainsi, pour
r < R et 0 t 2π, on obtient |f (a)| = Re
f (a + re it )
. Comme |f (z)| |f (a)|
si z ∈ D(a, R), on a Im
f (z)
= 0 si z ∈ D(a, R). On a prouvé que f est constante
sur D(a, R).
Proposition 7.2.5. Soient U un ouvert connexe et borné de C, et f une fonction
continue sur l’adhérence U de U et vérifiant le principe du maximum dans U . Si M
est le maximum de |f | sur la frontière U \U de U , on a
|f (z)| M
pour tout z ∈ U . En outre, s’il existe a ∈ U tel que |f (a)| = M , alors f est constante
sur U .