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7.2 Principe du maximum
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Corollaire. (Théorème de Liouville). Toute fonction entière et bornée est constante.
Démonstration. Si M |f (z)| pour tout z ∈ C, pour tout r > 0 et tout n ∈ N ∗ , on
a |a n | Mr −n (7.1.1). En faisant tendre r vers +∞, on obtient a n = 0 si n 1.
Corollaire 7.1.3. (Théorème de d’Alembert). Tout polynôme d’une variable à coefficients complexes et non constant a au moins une racine dans C.
Démonstration. Soit P ∈ C[X]\C. Il est clair que |P (z)| tend vers +∞ si |z| tend
vers +∞. Par suite, si P n’a aucune racine dans C, z → 1/P (z) est une fonction
entière bornée. D’après 7.1.2, elle est constante, donc le polynôme P est constant.
Contradiction.
7.2 PRINCIPE DU MAXIMUM
Proposition 7.2.1. Soient U un ouvert de C et f une fonction continue sur U . Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Pour tout disque D (a, r) contenu dans U , on a :
f (a) =
1
2π
2π
0
f (a + re
it ) dt.
(ii) Pour tout disque D (a, r) contenu dans U , on a :
f (a) =
1
πr 2
D (a,r)
f (x + iy) dx dy.
Si elles sont vérifiées, on dit que f possède la propriété de moyenne dans U .
Démonstration. En utilisant les coordonnées polaires, il vient :
1
πr 2
D (a,r)
f (x + iy) dx dy =
1
πr 2
r
0
2π
0
f (a + ρe
it ) dt
ρ dρ.
L’implication (i) ⇒ (ii) est alors immédiate. Supposons (ii) vérifié. Soit R > 0 tel que
D (a, R) ⊂ U . Pour 0 r < R, on a :
r 2
2
f (a) =
1
2π
r
0
2π
0
f (a + ρe
it dt
ρ dρ.
En prenant la dérivée des deux membres par rapport à r, on obtient (i).
Proposition 7.2.2. Soient U un ouvert de C et f ∈ H(U ). Alors f possède la
propriété de moyenne dans U .