Chapitre 7
Propriétés des fonctions
holomorphes
7.1 INÉGALITÉS DE CAUCHY ET CONSÉQUENCES
7.1.1. Soient R ∈ R ∗
+ et f ∈ H
D(0, R)
. D’après 6.5.2, si z ∈ D(0, R), on a
f (z) =
∞
n=0
a n z
n ,
où (a n ) n est une suite de nombres complexes.
Si r ∈ ]0, R[, notons γ r le cercle C(0, r) parcouru dans le sens direct (6.1.5). D’après
6.5.2, pour n ∈ N, on a :
a n =
1
n!
f
(n) (0) =
1
2iπ
γr
f (z)
z n+1 dz =
1
2π
2π
0
f (re
it )r
−n e
−int dt.
On en déduit immédiatement le résultat suivant :
Théorème. (Inégalités de Cauchy). Avec les notations précédentes, pour tout
r ∈ ]0, R[ et tout n ∈ N, on a :
|a n | =
1
n!
|f
(n) (0)|
sup{|f (z)| ; |z| = r}
r n
·
7.1.2. On appelle fonction entière tout élément de H(C).