Chapitre 14
Intégrales généralisées
Les fonctions indiquées dans ce chapitre sont continues par morceaux sur un
intervalle de~ (définition page 98), à valeurs dans OC, où OC est égal à~ ou C.
14.1 Définition de l'intégrale généralisée
Intégrale généralisée sur un intervalle de la forme [a, b[
Définition : Soient [a, b[ un intervalle de ~ (avec -oo < a < b :::;
+oo) et f: [a,b[~ OC une fonction continue par morceaux sur [a,b[. Si
l'application F définie, pour tout réel x de l'intervalle [a, b[, par :
F : [a, b[ ---t OC
X
~ l: f(t)dt,
admet une limite finie lorsque x tend vers b, on dit que l'intégrale
généralisée (ou impropre) l: f(t)dt converge et on note
rb f(t)dt = lim F(x) = lim {X f(t)dt.
la
x-+b
x-+b la
Dans le cas contraire, on dit que l'intégrale l: f(t)dt diverge.
Exercice 14.1
1. Pour quelles valeurs du réel a, l'intégrale généralisée
!
+oo dt
1
to:
est-elle convergente? Donner, dans ce cas, la valeur de l'intégrale.
2. Pour quelles valeurs du réel a, l'intégrale généralisée
rl dt
lo (1 - t)o: