x,,. Et vérifier que cette suite est composée
uniformé ment de « 1 », que lque so it le
no mbre a cho isi au départ. Encodons à
présent notre procédure dans un tabl eur
quelconque et testons quelques valeurs
particulières « bien choisies » pour a.
La plupart des va le urs a produi se nt
bien la suite de « 1 » atte ndue . Ma is
que se passe- t-il lorsque l' o n introduit
a = 1023, 1 ? On arrive à la suite de
valeurs présentées dans le tabl eau de la
page 96 , qui est bi e n loin de ce qu e
l' on doit trou ve r !
A na lyso ns ce résultat é tonn a nt. Le
no mbre de zéros s itu és à droite des
premières ité ration s est éc lairant : il
montre que le systè me trav a ill e « en
double préc ision », c'est-à-dire avec
deux fois huit c hiffres s ig nifi catifs.
Ceci pe ut se vé rifi er éga lem e nt en
ca lc ul ant la s uite de nombres
( 10" + 1)- 10", comme il es t fait dans
le seco nd tabl ea u . Dès la valeur
n = 15 , un e e rre ur appa raît , limita nt
ain si la préc ision de to ute opération.
Certes , dans la plupart des applications,
ce ni vea u de préc is ion es t s uffi sant.
Ma is ce n'est pas le cas dans une suite
de calcul s dans lesquels une erreur même
extrêmement petite sur la va leur de l' un
des x de la s uit e es t a mplifi ée
systématiquement. Que ll e est don c la
nature bi e n pa rti c uli è re du nombre
10 23, 1 qui conduit à ces rés ult a ts
aberra nts? On obtient en fa it ce type de
suites de va leurs absurdes pour tout a
de la forme 4 k - 0 ,9 ou encore 2
2 k - 0 ,9,
k éta nt un nombre e nti e r nature l. Le
lecte ur c uri e ux pe ut a in s i tes te r 3, 1,
15 , 1 ou63 ,I pourconstaterque, lorsque
k croît, la divergence devient plus rapide .
La suite (x,,),, proposée est construite
de telle so1te que toute différence initiale,
si petite so it- e ll e, va s'a mplifi e r de
manière exponentielle, vu la multiplication
introduite dans la procédure.
POUR LES MATHS
Pierre-François Verhulst
Gravure de Verhulst,
par Léopold Flameng.
Le mathématicien bruxellois PierreFrançois Verhulst (1804-1849) fut
l'élève de Quetelet. Il est surtout
connu pour sa construction de la
courbe qu'il a lui m ême intitulée
« logistique », sans fournir d'explication satisfaisante à
cette dénomination. Délaissant les modèles exponentiels
de Thomas Malthus, Verhulst propose une modèle de
croissance sous contrainte particulièrement bien adapté à
l'évolution des populations puisqu'il conduit à l'existence
d 'une taille maximale pour toute population, fonction des
conditions initiales. Verhulst a appliqué à plusieurs reprises
son modèle à la population belge avec des conclusions
variées. Détail amusant, la thèse de Verhulst, soutenue en
1825, portait sur la résolution des équations binomiales.
Un demi-siècle plus tard, lorsque Conan Doyle décida de
donner à Sherlock Holmes un ennemi mortel, il en fit un
mathématicien ... dont les travaux portaient précisément
sur ce sujet. Verhulst a-t-il servi de modèle à Moriarty?
Les nombres 2
2 k s'écrivent de manière
exac te e n base 2. Qu 'e n es t-il de la
fraction 9 / 10? Un calcu l simple montre
que 0 ,9 s'écrit 0, 111 00110011001 1 ... ,
présentant bien une forme pé riodique
illimitée. Que se passe-t-il lorsque l' on
travaille en double précision ? On connaît
bie n l'a pproximation qui est souve nt
11
1(
1
Hors-série n ° 52. Mathématiques & informatique Tangente
uniformé ment de « 1 », que lque so it le
no mbre a cho isi au départ. Encodons à
présent notre procédure dans un tabl eur
quelconque et testons quelques valeurs
particulières « bien choisies » pour a.
La plupart des va le urs a produi se nt
bien la suite de « 1 » atte ndue . Ma is
que se passe- t-il lorsque l' o n introduit
a = 1023, 1 ? On arrive à la suite de
valeurs présentées dans le tabl eau de la
page 96 , qui est bi e n loin de ce qu e
l' on doit trou ve r !
A na lyso ns ce résultat é tonn a nt. Le
no mbre de zéros s itu és à droite des
premières ité ration s est éc lairant : il
montre que le systè me trav a ill e « en
double préc ision », c'est-à-dire avec
deux fois huit c hiffres s ig nifi catifs.
Ceci pe ut se vé rifi er éga lem e nt en
ca lc ul ant la s uite de nombres
( 10" + 1)- 10", comme il es t fait dans
le seco nd tabl ea u . Dès la valeur
n = 15 , un e e rre ur appa raît , limita nt
ain si la préc ision de to ute opération.
Certes , dans la plupart des applications,
ce ni vea u de préc is ion es t s uffi sant.
Ma is ce n'est pas le cas dans une suite
de calcul s dans lesquels une erreur même
extrêmement petite sur la va leur de l' un
des x de la s uit e es t a mplifi ée
systématiquement. Que ll e est don c la
nature bi e n pa rti c uli è re du nombre
10 23, 1 qui conduit à ces rés ult a ts
aberra nts? On obtient en fa it ce type de
suites de va leurs absurdes pour tout a
de la forme 4 k - 0 ,9 ou encore 2
2 k - 0 ,9,
k éta nt un nombre e nti e r nature l. Le
lecte ur c uri e ux pe ut a in s i tes te r 3, 1,
15 , 1 ou63 ,I pourconstaterque, lorsque
k croît, la divergence devient plus rapide .
La suite (x,,),, proposée est construite
de telle so1te que toute différence initiale,
si petite so it- e ll e, va s'a mplifi e r de
manière exponentielle, vu la multiplication
introduite dans la procédure.
POUR LES MATHS
Pierre-François Verhulst
Gravure de Verhulst,
par Léopold Flameng.
Le mathématicien bruxellois PierreFrançois Verhulst (1804-1849) fut
l'élève de Quetelet. Il est surtout
connu pour sa construction de la
courbe qu'il a lui m ême intitulée
« logistique », sans fournir d'explication satisfaisante à
cette dénomination. Délaissant les modèles exponentiels
de Thomas Malthus, Verhulst propose une modèle de
croissance sous contrainte particulièrement bien adapté à
l'évolution des populations puisqu'il conduit à l'existence
d 'une taille maximale pour toute population, fonction des
conditions initiales. Verhulst a appliqué à plusieurs reprises
son modèle à la population belge avec des conclusions
variées. Détail amusant, la thèse de Verhulst, soutenue en
1825, portait sur la résolution des équations binomiales.
Un demi-siècle plus tard, lorsque Conan Doyle décida de
donner à Sherlock Holmes un ennemi mortel, il en fit un
mathématicien ... dont les travaux portaient précisément
sur ce sujet. Verhulst a-t-il servi de modèle à Moriarty?
Les nombres 2
2 k s'écrivent de manière
exac te e n base 2. Qu 'e n es t-il de la
fraction 9 / 10? Un calcu l simple montre
que 0 ,9 s'écrit 0, 111 00110011001 1 ... ,
présentant bien une forme pé riodique
illimitée. Que se passe-t-il lorsque l' on
travaille en double précision ? On connaît
bie n l'a pproximation qui est souve nt
11
1(
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Hors-série n ° 52. Mathématiques & informatique Tangente