SAVOIRS
puissances de 1 /2
50
51
52
53
54
55
Problèmes de calculs ...
faite et qui dit que i
0 = HP avec une erreur
de l' ordre de 2 %. Pour o bte nir une
préc ision de l'ordre de quinze ou se ize
déc im a les (ce qui sé m a ntiqu e me nt
implique la base 10), il fa ut , en base 2,
aller jusqu 'à une cinquantai ne de chiffres
« après la virgule». Les puissances de
1 /2 donnent en fa it les erreurs absolues
maximales en base 2. Elles sont calculées,
respecti vement aux l 6e et 17e décimales ,
d ans le tabl eau c i-contre, qui do nne
également les erreurs absolues pour la
valeur 0 ,9 . On constate que ces erreurs
sont maximales étant, pour une précision
de 10-k, approximati ve me nt éga les à
( 1 /2) x 10...;; (et même un peu supérieures)
pour les valeurs k = 16 et k = 17 . De là
les résultats étonnant obtenus pour toute
succession de calculs de nature divergente !
Valeur décimale
erreur en base 2
8.88E-016
5.55E-016
4.44E-016
0.000000000000000 11102
2.22E-016
1.11E-016
0.00000000000000005551
5.55E-017
0.00000000000000002776
0.00000000000000002776
Des problèmes vont donc également se
poser lors de la mi se en pl ace de tout
calcul générateur de chaos mathématique.
Un deuxiè me exemple va nous montrer
ex pli c ite me nt qu e les propri é tés de
distributi vité ou d ' assoc iati vité ne sont
pas vérifiées lors de la mi se en place de
ca lcul s effect ifs utili sant la machine.
Po ur ce la , introdui so ns la procéd ure
chaotique connue sous l'appe ll ation de
dynamique de Verhulst, selon le nom du
célèbre mathé matic ien be lge . Le but de
ce scientifique était de décrire l'évolution
d' une popul ati o n sous contrai ntes, de
mani è re à éc happer à l'a bsurdi té d u
modèle exponentiel manquant de réal isme
(vo ir Ma thém at iq u es et Biologi e ,
Bibliothèque Tangente 42, 20 11 ). Voyons
ce qu ' il en est en temps discret. So it une
populatio n y mesurée à l' instant enti er
t (on note y, cette popul ation). L' instant
s ui va nt , cette po pul ati o n va croître
proportionne llement à ell e-même mais
e n subi ssa nt éga le me nt un facte ur
d 'atté nuation expliqué par la limitati on
des ressources et la saturation de sa niche
écolog ique. Yerhul st étudi e alo rs une
procédure évo luti ve se lo n l' équ ati on
suivante:
Yr +I = Y, + a X Y, X ( 1 - ~) .
Cette équation ex pri me une croissance
p ro po rti o nn e ll e à e ll e- mê me m a is
atténuée par un fac teur proportionne l à
la taill e de la po pul ati on . La constante
K es t s upp osée re ndre co mpte de s
conditions nature lles propres à l' espèce
concernée . Cec i n 'est pas notre sujet.
Concentro ns-nous sur l'aspect for me l
de l 'équ a ti o n , qui pe ut s'éc rire , e n
posant K = 1 :
2
Y1+1 =Y, + ay, + ay ,
On pe ut d o nn e r plu s ie urs no tati o ns
fo rm e ll e me nt ide ntiqu es d e cette
ex pression en utilisant les propriétés de
co mmutati v ité, d ' assoc iati vité et de
di stributivité dans les réels. Mais qu ' en
est-il des valeurs numériques obtenues ?
Examino ns et comparons les résultats
obtenus pour les valeurs a = 3 en partant
de .-to = 0,5 et en donnant à notre expression
les écritures sui vantes, fo rme lle ment
équivalentes :
8 Ta.n9ente Hors-serie n°52. Mathematiques & informatique
puissances de 1 /2
50
51
52
53
54
55
Problèmes de calculs ...
faite et qui dit que i
0 = HP avec une erreur
de l' ordre de 2 %. Pour o bte nir une
préc ision de l'ordre de quinze ou se ize
déc im a les (ce qui sé m a ntiqu e me nt
implique la base 10), il fa ut , en base 2,
aller jusqu 'à une cinquantai ne de chiffres
« après la virgule». Les puissances de
1 /2 donnent en fa it les erreurs absolues
maximales en base 2. Elles sont calculées,
respecti vement aux l 6e et 17e décimales ,
d ans le tabl eau c i-contre, qui do nne
également les erreurs absolues pour la
valeur 0 ,9 . On constate que ces erreurs
sont maximales étant, pour une précision
de 10-k, approximati ve me nt éga les à
( 1 /2) x 10...;; (et même un peu supérieures)
pour les valeurs k = 16 et k = 17 . De là
les résultats étonnant obtenus pour toute
succession de calculs de nature divergente !
Valeur décimale
erreur en base 2
8.88E-016
5.55E-016
4.44E-016
0.000000000000000 11102
2.22E-016
1.11E-016
0.00000000000000005551
5.55E-017
0.00000000000000002776
0.00000000000000002776
Des problèmes vont donc également se
poser lors de la mi se en pl ace de tout
calcul générateur de chaos mathématique.
Un deuxiè me exemple va nous montrer
ex pli c ite me nt qu e les propri é tés de
distributi vité ou d ' assoc iati vité ne sont
pas vérifiées lors de la mi se en place de
ca lcul s effect ifs utili sant la machine.
Po ur ce la , introdui so ns la procéd ure
chaotique connue sous l'appe ll ation de
dynamique de Verhulst, selon le nom du
célèbre mathé matic ien be lge . Le but de
ce scientifique était de décrire l'évolution
d' une popul ati o n sous contrai ntes, de
mani è re à éc happer à l'a bsurdi té d u
modèle exponentiel manquant de réal isme
(vo ir Ma thém at iq u es et Biologi e ,
Bibliothèque Tangente 42, 20 11 ). Voyons
ce qu ' il en est en temps discret. So it une
populatio n y mesurée à l' instant enti er
t (on note y, cette popul ation). L' instant
s ui va nt , cette po pul ati o n va croître
proportionne llement à ell e-même mais
e n subi ssa nt éga le me nt un facte ur
d 'atté nuation expliqué par la limitati on
des ressources et la saturation de sa niche
écolog ique. Yerhul st étudi e alo rs une
procédure évo luti ve se lo n l' équ ati on
suivante:
Yr +I = Y, + a X Y, X ( 1 - ~) .
Cette équation ex pri me une croissance
p ro po rti o nn e ll e à e ll e- mê me m a is
atténuée par un fac teur proportionne l à
la taill e de la po pul ati on . La constante
K es t s upp osée re ndre co mpte de s
conditions nature lles propres à l' espèce
concernée . Cec i n 'est pas notre sujet.
Concentro ns-nous sur l'aspect for me l
de l 'équ a ti o n , qui pe ut s'éc rire , e n
posant K = 1 :
2
Y1+1 =Y, + ay, + ay ,
On pe ut d o nn e r plu s ie urs no tati o ns
fo rm e ll e me nt ide ntiqu es d e cette
ex pression en utilisant les propriétés de
co mmutati v ité, d ' assoc iati vité et de
di stributivité dans les réels. Mais qu ' en
est-il des valeurs numériques obtenues ?
Examino ns et comparons les résultats
obtenus pour les valeurs a = 3 en partant
de .-to = 0,5 et en donnant à notre expression
les écritures sui vantes, fo rme lle ment
équivalentes :
8 Ta.n9ente Hors-serie n°52. Mathematiques & informatique