De nombreux
autres exemples
Les deux exemples utilisés dans le
corps de l'article (à savoir le traitement de l'équation de récurrence
x = bx - a et l'étude de la dynamique
de Verhuslt) font partie des nombreux
modèles que le premier auteur présente sur son site depuis ... plus de
vingt ans ! En effet, notre collaborateur, du Centre de mathématiques
appliquées (CMAP) de l'École polytechnique, semble avoir été le premier
à étudier le cas de l'exemple
x = bx - a (aucune mention antérieure
n'a pu être trouvée dans la littérature)
et certainement l'un des premiers à
avoir soulevé le cas de la dynamique
Verhulst. Pour plus de précisions, on
pourra consulter cet article :
The Subjectivity of Computers. JeanFrançois Colonna, Technical Correspondence, Communications of the
Association for Computing Machinery (ACM), volume 36, numéro 8,
pages 15 à 18, août 1993.
De nombreux exemples complémentaires (par exemple liés à l'attracteur
de Lorentz, au problème des n corps
ou à l'irréversibilité du temps) peuvent être trouvés en ligne à cette
adresse:
www.lactamme.polytechnique.fr
A""1ul ..... n..Tn"IIIM ......
,u.r,.....,,.....,.. 1t ..,.,,.,r~r-..t
4 _ _ ... _ _ _ _
_ _ _
~ ----·----·--·-. . ---· ---- . . ---~ -..._ ... -----~-...-.-- -·--·
POUR LES MATHS
Yr+ I = (a + 1 )y, - ay;et
Yr+ I = (a + 1 )y, - (ay,) y,.
En notant bien qu ' imposer à un ordinateur
l'ordre des o pérati ons à effectuer est
chose di fficile . . . On obtient le tableau
de valeurs c i-contre . De petites erre urs
a pparaissent dès la di xième itérati on ,
montrant ainsi la non-assoc iati vité dans
les ca lcul s info rmatiques.
Ces di fférences vont aller en s'ampli fie r
pour ex ploser littéra lement après une
c inquantaine d ' itérations et donner dans
les deux colonnes des résultats totalement
indépendants. Le graphique c i-dessous
re présente ces diffé rences success ives
entre les deux express ions fo rmellement
identiques de calculs.
D 'a utres ex press io ns t o ut a u ss i
équi valentes peuvent être testées avec des
conc lusio ns ide ntiques. On pe ut ain si
calculer
yr+ 1 = ((a + 1)- ay,)y,,
Yr+I = ay, + ( 1 - ay,) y, ou e ncore
Yr+I =Y, + a(y, - y;)
et effectue r une centaine d ' itératio ns.
On arrive à la ligne de valeurs sui vantes:
On peut légitimement se poser la question
angoissante : quelle est la vraie vale ur
de x 100 ?
J.-F. C. & D. J.
Hors-série n 52. Mathematiques & informatique Tangente
99
autres exemples
Les deux exemples utilisés dans le
corps de l'article (à savoir le traitement de l'équation de récurrence
x = bx - a et l'étude de la dynamique
de Verhuslt) font partie des nombreux
modèles que le premier auteur présente sur son site depuis ... plus de
vingt ans ! En effet, notre collaborateur, du Centre de mathématiques
appliquées (CMAP) de l'École polytechnique, semble avoir été le premier
à étudier le cas de l'exemple
x = bx - a (aucune mention antérieure
n'a pu être trouvée dans la littérature)
et certainement l'un des premiers à
avoir soulevé le cas de la dynamique
Verhulst. Pour plus de précisions, on
pourra consulter cet article :
The Subjectivity of Computers. JeanFrançois Colonna, Technical Correspondence, Communications of the
Association for Computing Machinery (ACM), volume 36, numéro 8,
pages 15 à 18, août 1993.
De nombreux exemples complémentaires (par exemple liés à l'attracteur
de Lorentz, au problème des n corps
ou à l'irréversibilité du temps) peuvent être trouvés en ligne à cette
adresse:
www.lactamme.polytechnique.fr
A""1ul ..... n..Tn"IIIM ......
,u.r,.....,,.....,.. 1t ..,.,,.,r~r-..t
4 _ _ ... _ _ _ _
_ _ _
~ ----·----·--·-. . ---· ---- . . ---~ -..._ ... -----~-...-.-- -·--·
POUR LES MATHS
Yr+ I = (a + 1 )y, - ay;et
Yr+ I = (a + 1 )y, - (ay,) y,.
En notant bien qu ' imposer à un ordinateur
l'ordre des o pérati ons à effectuer est
chose di fficile . . . On obtient le tableau
de valeurs c i-contre . De petites erre urs
a pparaissent dès la di xième itérati on ,
montrant ainsi la non-assoc iati vité dans
les ca lcul s info rmatiques.
Ces di fférences vont aller en s'ampli fie r
pour ex ploser littéra lement après une
c inquantaine d ' itérations et donner dans
les deux colonnes des résultats totalement
indépendants. Le graphique c i-dessous
re présente ces diffé rences success ives
entre les deux express ions fo rmellement
identiques de calculs.
D 'a utres ex press io ns t o ut a u ss i
équi valentes peuvent être testées avec des
conc lusio ns ide ntiques. On pe ut ain si
calculer
yr+ 1 = ((a + 1)- ay,)y,,
Yr+I = ay, + ( 1 - ay,) y, ou e ncore
Yr+I =Y, + a(y, - y;)
et effectue r une centaine d ' itératio ns.
On arrive à la ligne de valeurs sui vantes:
On peut légitimement se poser la question
angoissante : quelle est la vraie vale ur
de x 100 ?
J.-F. C. & D. J.
Hors-série n 52. Mathematiques & informatique Tangente
99