SAVOIRS
par J.-F. Colonna et D. Justens
Quelques problèmes de calculs
liés au caractère discret
et fini de nos ordinateurs
Notre système de calcul est décimal, conséquence de nos deux
mains à cinq doigts. La machine, elle, travaille en base deux,
ce qui permet une représentation physique des nombres par
le passage (1) ou non ( o) d'une impulsion électrique. Ce qui a
une incidence sur la façon de représenter les nombres.
L
e sys tè m e bin a ire utili sé e n
informatique permet la transition
vers le systè me octal (base 8),
qui synthétise toute suite de trois chiffres
binaires en un seul. Théorique ment, tout
nombre pe ut s'écrire indi ffé re mme nt
dans chaque systè me de comptage. Mais
e n pratique il est loin d 'en ê tre a in si !
En effe t , le fait po ur un no mbre de se
présente r ou no n sous une écriture finie
va imp lique r l'ex iste nce o u no n d ' un
certain ni veau d'erreur lors des différentes
opératio ns à effectuer. Face aux nombres
irrati o nne ls, to us les systè mes semble nt
éga ux : ces no mbres ne so nt j a ma is
qu 'approc hés ! M ais il n' e n va pas de
mê me po ur les no mbres rati o nne ls qu i
s'exprimeront de maniè re exacte ou non
e n fo nc ti o n de la b ase c ho is ie. U n
c hangeme nt de base implique alo rs une
modificati o n pa rfo is s ig nificati ve du
ni veau d 'erre ur lo rs d ' une success io n
d 'opérations arithmétiques . Alors que dire
des o pérate urs no n a rithmétiques ?
No tre confia nce e n la machine doit être
adaptée e n conséque nce. Et parfois mi se
e n do ute. En vo ic i un pe tit exempl e.
Cons idérons la suite de ca lc ul s établis
co mme s uit. So it a un no mbre rée l.
Défmi ssons b = a + 1 et x 1 = 1. Calculons
x 2 = bx 1
- a. On vé ri fie qu e x 2 = 1
év ide mment. Se lo n la mê me procédure ,
on peut calcu ler (par récurrence) x 3 ,x 4 ...
Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique
par J.-F. Colonna et D. Justens
Quelques problèmes de calculs
liés au caractère discret
et fini de nos ordinateurs
Notre système de calcul est décimal, conséquence de nos deux
mains à cinq doigts. La machine, elle, travaille en base deux,
ce qui permet une représentation physique des nombres par
le passage (1) ou non ( o) d'une impulsion électrique. Ce qui a
une incidence sur la façon de représenter les nombres.
L
e sys tè m e bin a ire utili sé e n
informatique permet la transition
vers le systè me octal (base 8),
qui synthétise toute suite de trois chiffres
binaires en un seul. Théorique ment, tout
nombre pe ut s'écrire indi ffé re mme nt
dans chaque systè me de comptage. Mais
e n pratique il est loin d 'en ê tre a in si !
En effe t , le fait po ur un no mbre de se
présente r ou no n sous une écriture finie
va imp lique r l'ex iste nce o u no n d ' un
certain ni veau d'erreur lors des différentes
opératio ns à effectuer. Face aux nombres
irrati o nne ls, to us les systè mes semble nt
éga ux : ces no mbres ne so nt j a ma is
qu 'approc hés ! M ais il n' e n va pas de
mê me po ur les no mbres rati o nne ls qu i
s'exprimeront de maniè re exacte ou non
e n fo nc ti o n de la b ase c ho is ie. U n
c hangeme nt de base implique alo rs une
modificati o n pa rfo is s ig nificati ve du
ni veau d 'erre ur lo rs d ' une success io n
d 'opérations arithmétiques . Alors que dire
des o pérate urs no n a rithmétiques ?
No tre confia nce e n la machine doit être
adaptée e n conséque nce. Et parfois mi se
e n do ute. En vo ic i un pe tit exempl e.
Cons idérons la suite de ca lc ul s établis
co mme s uit. So it a un no mbre rée l.
Défmi ssons b = a + 1 et x 1 = 1. Calculons
x 2 = bx 1
- a. On vé ri fie qu e x 2 = 1
év ide mment. Se lo n la mê me procédure ,
on peut calcu ler (par récurrence) x 3 ,x 4 ...
Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique