SAVOIRS
La simulation numérique
l'informatique de la simulation
La précision des simulations numériques croît avec
la finesse de discrétisation des objets étudiés. Pour gagner
un facteur dix sur la résolution, il faut multiplier le
nombre de mailles par mille ! Cette croissance exponentielle lie intimement le progrès des simulations
numériques à celui des équipements informatiques.
On est passé de quelques dizaines de mailles dans les
années soixante à la dizaine de milliards de mailles
aujourd'hui. À mailles égales, cette augmentation de
performance a permis de passer des modèles sphériques à une dimension a des modèles à trois dimensions, plus proches de la réalité.
Les processeurs vectoriels, qui exécutent des opérations sur des vecteurs, sont particulièrement bien
adaptés à la simulation numérique. Les performances
d'un processeur actuel sont liées à sa fréquence de
fonctionnement et à son parallélisme interne (sa
capacité à effectuer des opérations simultanées). Le
degré suivant est le parallélisme entre processeurs,
dont la gestion est à la charge du programmeur. Le
calcul doit alors être décomposé en tâches indépendantes, en veillant à maintenir la communication
entre processeurs pour partager des résultats intermédiaires, et à l'équilibre des charges de travail de
chaque processeur pour gagner en efficacité.
Plusieurs types d'architecture existent pour les supercalculateurs, dont les puissances se chiffrent aujourd'hui en téraflops (voir en pages suivantes). Les
supercalculateurs vectoriels possèdent des processeurs haut de gamme, mais leur architecture rigide
est peu évolutive. Les « grappes de PC » sont peu
coûteuses, mais mal adaptées à une forte puissance
de travail. Enfin, un excellent rapport performance / prix
est offert par une structure intermédiaire : les « grappes
de mini-ordinateurs à mémoire partagée ». Des
briques de base - les nœuds - sont constituées de plusieurs microprocesseurs partageant une mémoire
commune et sont reliées entre elles par un réseau
d'interconnexion haute performance. Cette structure, la plus répandue parmi les supercalculateurs,
est appelée ordinateur massivement parallèle.
La s imul a ti o n num ériq ue s' int rod uit
clo ne dans le d iptyque d ialectique th éori e-ex pé ri e nce , au cœ ur de la sc ie nce
cl ass ique, po ur structurer la recherc he
mode rn e se lo n un t riptyque t héo rie,
modé li sati o n- s imul ati o n et ex périme ntati o n . Elle permet bie n sûr de limiter le
coût e t le danger par rappo rt aux ex périme ntati o ns phys iques , mais auss i de
se do nne r les moyens de mi e ux co mpre ndre, do nc de mi e ux concevo ir o u
agir. Elle devient un guide conceptuel pour
intuite r d e no u ve ll es direc ti o ns d e
reche rc he.
Les résultats de s imul ati o n numérique
fo nt ma inte nant partie de notre quotidie n : prév is io ns mé téoro log iques, prévis io ns dé mographiques, évolu tio n du
climat o u cours de la bo urse.
Des mailles à répartir
La pre miè re é tape d ' une expérime ntati o n num é riqu e cons iste à ré unir les
caractéristiques phys iques du systè me à
étudier cl ans un modèle établi avec des
mé thodes mathé matiques e t in fo rmatiques. Les grandeurs phys iques recherc hées (pos iti o n , vitesse, te mpérature,
pression . . . ) et le urs variati o ns sont liées
par des équati o ns , souve nt aux dérivées
pa11i e lles, qui modé li sent le comporteme nt de l' o bje t. Ho rs d u c ha mp analyTangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique
La simulation numérique
l'informatique de la simulation
La précision des simulations numériques croît avec
la finesse de discrétisation des objets étudiés. Pour gagner
un facteur dix sur la résolution, il faut multiplier le
nombre de mailles par mille ! Cette croissance exponentielle lie intimement le progrès des simulations
numériques à celui des équipements informatiques.
On est passé de quelques dizaines de mailles dans les
années soixante à la dizaine de milliards de mailles
aujourd'hui. À mailles égales, cette augmentation de
performance a permis de passer des modèles sphériques à une dimension a des modèles à trois dimensions, plus proches de la réalité.
Les processeurs vectoriels, qui exécutent des opérations sur des vecteurs, sont particulièrement bien
adaptés à la simulation numérique. Les performances
d'un processeur actuel sont liées à sa fréquence de
fonctionnement et à son parallélisme interne (sa
capacité à effectuer des opérations simultanées). Le
degré suivant est le parallélisme entre processeurs,
dont la gestion est à la charge du programmeur. Le
calcul doit alors être décomposé en tâches indépendantes, en veillant à maintenir la communication
entre processeurs pour partager des résultats intermédiaires, et à l'équilibre des charges de travail de
chaque processeur pour gagner en efficacité.
Plusieurs types d'architecture existent pour les supercalculateurs, dont les puissances se chiffrent aujourd'hui en téraflops (voir en pages suivantes). Les
supercalculateurs vectoriels possèdent des processeurs haut de gamme, mais leur architecture rigide
est peu évolutive. Les « grappes de PC » sont peu
coûteuses, mais mal adaptées à une forte puissance
de travail. Enfin, un excellent rapport performance / prix
est offert par une structure intermédiaire : les « grappes
de mini-ordinateurs à mémoire partagée ». Des
briques de base - les nœuds - sont constituées de plusieurs microprocesseurs partageant une mémoire
commune et sont reliées entre elles par un réseau
d'interconnexion haute performance. Cette structure, la plus répandue parmi les supercalculateurs,
est appelée ordinateur massivement parallèle.
La s imul a ti o n num ériq ue s' int rod uit
clo ne dans le d iptyque d ialectique th éori e-ex pé ri e nce , au cœ ur de la sc ie nce
cl ass ique, po ur structurer la recherc he
mode rn e se lo n un t riptyque t héo rie,
modé li sati o n- s imul ati o n et ex périme ntati o n . Elle permet bie n sûr de limiter le
coût e t le danger par rappo rt aux ex périme ntati o ns phys iques , mais auss i de
se do nne r les moyens de mi e ux co mpre ndre, do nc de mi e ux concevo ir o u
agir. Elle devient un guide conceptuel pour
intuite r d e no u ve ll es direc ti o ns d e
reche rc he.
Les résultats de s imul ati o n numérique
fo nt ma inte nant partie de notre quotidie n : prév is io ns mé téoro log iques, prévis io ns dé mographiques, évolu tio n du
climat o u cours de la bo urse.
Des mailles à répartir
La pre miè re é tape d ' une expérime ntati o n num é riqu e cons iste à ré unir les
caractéristiques phys iques du systè me à
étudier cl ans un modèle établi avec des
mé thodes mathé matiques e t in fo rmatiques. Les grandeurs phys iques recherc hées (pos iti o n , vitesse, te mpérature,
pression . . . ) et le urs variati o ns sont liées
par des équati o ns , souve nt aux dérivées
pa11i e lles, qui modé li sent le comporteme nt de l' o bje t. Ho rs d u c ha mp analyTangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique