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n, e. ·h et de bien d ' autres nombres irrationn e ls, et e n exa min a nt - to ujours
avec l' ord inate ur - leur ré partiti on, on
a été amené à for muler la co njecture
que ces nombres sont normaux: chaque
déc ima le se présente avec la fré que nce
1 / 10, chaque série de 2 chi ffres (par
exe mpl e 37) se présente avec la fréquence 1 / 1 OO, etc
L'ordinateur falsificateur
Karl Po pper a défendu l' idée qu ' une
théorie a d 'autant plus de contenu qu 'elle
est fac il e à mettre à l'épre uve - ou, avec
son vocabul aire àjàlsijier. Pour fa lsifier
des conjectu res , rien de te l qu ' un ord inateur et ic i l'ex périmentation mathém a ti q ue resse mbl e d'assez près à
l'expérimentation phys ique: on mène des
ex périences (de ca lcul ) avec des do nPOUR LES MATHS
so mme de mo in s de n pui ssances nièmes de no mbres non nul s n'est jamais
une pui ssance 11-ième sauf dans les cas
év idents n = 2 ou a" = a" .
Il se tro uve que cette généra li sati on est
fa usse po ur n = 5. En effet , e n 1966 ,
L. Lander et T. Park in ont tro uvé - bien
sûr en utili sant un ordinate ur - que:
27
5 + 84
5 + 110
5 + 133
5 = 144
5 .
Pour n = 4 la générali satio n d 'Eul er du
théorème de Fermat est encore fa usse
et en 1988, N . Elkies a démontré qu ' il
y ava it une infinité de so luti o ns (non
multiples les unes des autres) dont la
plu s petite, qui fut trou vée par ordinateur par R. Fries de la Thinking Machine
Corporation , est :
95 800
4 + 2 17 51 9
4 + 4 145(J()
4 = 422 48 1
4 .
Pour n = 6 et au-delà, la conjecture reste
aujourd ' hui irrésolue.
nées diffé rentes, en observa nt si la lo i
Si l'ordinateur n 'a servi à rien dans la
qu' on teste est sati sfa ite à chaque fo is.
démonstration du Grand Théorème de
L'énoncé du Grand Théorème de Fermat
indiq ue par exemple qu ' il n 'ex iste pas
de quadruplets d ' entiers a, b , c, n avec
a, b, et c non nul s et n > 2, te ls que:
a"+ b" = c". Un te l énoncé serait fa lsifié par n ' importe que l quad ruplet a, b,
c, 11 sati sfaisant les cond itions c itées. Le
gra nd théorè me de Fe rmat éta it do nc
fa lsifiable avant qu ' il ne soit dé montré
par And rew Wiles. De nombre ux essais
ava ient d ' aille urs été fa its pour le fa lsifie r, et aujourd' hui encore certains mathéma t icie ns la n ce nt sa n s d o ut e d es
programmes qui recherche nt des fa lsificateurs pour ce théorè me cé lè bre. Ces
te ntatives ne sont pas absurdes, car au
fur et à mes ure du te mps, le ur éc hec
confi rme indirectement que la démonstrati on de Wil es est j uste.
Di ve rses gé néra li sati ons du théorè me
de Fermat ont été envisagées dont celleci proposée par Leonh ard Eule r : une
Fermat, sa capac ité à fa lsifier d 'autres
conjectures proches doit être vue comme
cru c iale. Sans lui , des mathé matic ie ns
continueraient à cherche r une démonstration de la générali sation proposée par
Euler. .. que d 'ailleurs Euler pensait vraie.
Bien sûr, le plu s souvent , les conj ectures rés istent et le tra va il de ceux qui
tentent de les fa lsifier apparaît absurde :
si la conjecture est vra ie, il s ne trou vero nt jama is rien , que l que so it le so in
ou le génie qu ' il s auront pu mettre dans
le urs programmes . On peut penser que
c ' est ce que se passe pour la conjecture
de Syracuse dont la vérificati on chaque
année progresse grâce à des programmes
de plus en plu s compl exes et subtil s.
Cette conjecture affirme que la fo nction
f(n) = n/2 sin pa ir,f(n) = 3n+l sin
impa ir conduit to ujours à I qu and on
l'applique de manière répétée à un entier :
n-+ J(n ) -+ f(f( n)) -+ J(f(f(n))) -+ ...
Cette conjecture a été vérifiée pour tous
Hors-série n• 52. Mathématiques & informatique Tangente
n, e. ·h et de bien d ' autres nombres irrationn e ls, et e n exa min a nt - to ujours
avec l' ord inate ur - leur ré partiti on, on
a été amené à for muler la co njecture
que ces nombres sont normaux: chaque
déc ima le se présente avec la fré que nce
1 / 10, chaque série de 2 chi ffres (par
exe mpl e 37) se présente avec la fréquence 1 / 1 OO, etc
L'ordinateur falsificateur
Karl Po pper a défendu l' idée qu ' une
théorie a d 'autant plus de contenu qu 'elle
est fac il e à mettre à l'épre uve - ou, avec
son vocabul aire àjàlsijier. Pour fa lsifier
des conjectu res , rien de te l qu ' un ord inateur et ic i l'ex périmentation mathém a ti q ue resse mbl e d'assez près à
l'expérimentation phys ique: on mène des
ex périences (de ca lcul ) avec des do nPOUR LES MATHS
so mme de mo in s de n pui ssances nièmes de no mbres non nul s n'est jamais
une pui ssance 11-ième sauf dans les cas
év idents n = 2 ou a" = a" .
Il se tro uve que cette généra li sati on est
fa usse po ur n = 5. En effet , e n 1966 ,
L. Lander et T. Park in ont tro uvé - bien
sûr en utili sant un ordinate ur - que:
27
5 + 84
5 + 110
5 + 133
5 = 144
5 .
Pour n = 4 la générali satio n d 'Eul er du
théorème de Fermat est encore fa usse
et en 1988, N . Elkies a démontré qu ' il
y ava it une infinité de so luti o ns (non
multiples les unes des autres) dont la
plu s petite, qui fut trou vée par ordinateur par R. Fries de la Thinking Machine
Corporation , est :
95 800
4 + 2 17 51 9
4 + 4 145(J()
4 = 422 48 1
4 .
Pour n = 6 et au-delà, la conjecture reste
aujourd ' hui irrésolue.
nées diffé rentes, en observa nt si la lo i
Si l'ordinateur n 'a servi à rien dans la
qu' on teste est sati sfa ite à chaque fo is.
démonstration du Grand Théorème de
L'énoncé du Grand Théorème de Fermat
indiq ue par exemple qu ' il n 'ex iste pas
de quadruplets d ' entiers a, b , c, n avec
a, b, et c non nul s et n > 2, te ls que:
a"+ b" = c". Un te l énoncé serait fa lsifié par n ' importe que l quad ruplet a, b,
c, 11 sati sfaisant les cond itions c itées. Le
gra nd théorè me de Fe rmat éta it do nc
fa lsifiable avant qu ' il ne soit dé montré
par And rew Wiles. De nombre ux essais
ava ient d ' aille urs été fa its pour le fa lsifie r, et aujourd' hui encore certains mathéma t icie ns la n ce nt sa n s d o ut e d es
programmes qui recherche nt des fa lsificateurs pour ce théorè me cé lè bre. Ces
te ntatives ne sont pas absurdes, car au
fur et à mes ure du te mps, le ur éc hec
confi rme indirectement que la démonstrati on de Wil es est j uste.
Di ve rses gé néra li sati ons du théorè me
de Fermat ont été envisagées dont celleci proposée par Leonh ard Eule r : une
Fermat, sa capac ité à fa lsifier d 'autres
conjectures proches doit être vue comme
cru c iale. Sans lui , des mathé matic ie ns
continueraient à cherche r une démonstration de la générali sation proposée par
Euler. .. que d 'ailleurs Euler pensait vraie.
Bien sûr, le plu s souvent , les conj ectures rés istent et le tra va il de ceux qui
tentent de les fa lsifier apparaît absurde :
si la conjecture est vra ie, il s ne trou vero nt jama is rien , que l que so it le so in
ou le génie qu ' il s auront pu mettre dans
le urs programmes . On peut penser que
c ' est ce que se passe pour la conjecture
de Syracuse dont la vérificati on chaque
année progresse grâce à des programmes
de plus en plu s compl exes et subtil s.
Cette conjecture affirme que la fo nction
f(n) = n/2 sin pa ir,f(n) = 3n+l sin
impa ir conduit to ujours à I qu and on
l'applique de manière répétée à un entier :
n-+ J(n ) -+ f(f( n)) -+ J(f(f(n))) -+ ...
Cette conjecture a été vérifiée pour tous
Hors-série n• 52. Mathématiques & informatique Tangente