ACTIONS
Mathématiques expérimentales
ta pis de je u le moin s d 'argent poss ible
e t donc d ' alle r droit au but.
Ce t e xe mple d 'expé rime ntation dans un
dessein didactique n'en est qu ' un parmi
une multitude d 'autres. L' idée n'est pas
no uve ll e e t ne fait qu e re pre ndre e n
) 'ada pta nt la propos iti o n de c réer des
Laboraloires de Ma/h ématiques, propos iti o n défe ndue pa r Émil e Bo re l e n
1904, soute nue de pui s par Jean Di e udo nné à propos de ) 'ense ig ne me nt de la
géomé tri e e t re pri se de no mbre use fo is
e n didactique des mathé matiques.
l'ordinateur producteur
de faits mathématiques
Un sec ond type d 'e xpé rim e nt a ti o ns
mathématiques est celui où l'on de mande
à l'o rdinate ur de produire un g ra nd
nombre de «faits mathé matiques» qu 'on
analyse e nsuite jusqu 'à y découvrir des
régul arités, qu ' il sera pe ut-être poss ibl e
de dé montre r. C 'es t a in s i qu ' un a mi
ma thé m a ti c ie n a redéc ou ve rt , il y a
que lques années par l'ex périme ntati o n
informatiqu e la stratég ie ass urant de
gagne r au Jeu de M ari e nbad (ou je u de
Nim) basée sur la Nim-additi o n .
Le re pé rage inform atique de régul ari -
tés dans des faits mathématiques énumérés
pa r la m achine adme t un cas pa rtic ulie r : la reche rc he de no uvell es fo rmules
par examen des chiffres décimaux qu 'elle
produit. La technique co ns iste à ca lcu -
le r avec un e préci s io n de plu s ie urs
di za ines de c hiffres di verses fo rmul es
e t à co mp a re r les rés ult a ts o bte nu s.
Lorsque les rés ultats de de ux formul es
coïncide nt , on essaie de dé mo ntre r l'égalité re pé rée. En pratique, po ur me ne r
très ra pide me nt de no mbre uses compara isons, des a lgorithmes spéciaux sont
utili sés.
La plu s fa meuse découve11e obte nue par
Simon Plouffe.
cette mé th ode est ce ll e que fit Simo n
Pl o uffe e n 1995 de l' éga lité:
' 1 ( 4
2
1
1 )
:rr = h, 16' 8k + 1 8k + 4 8k + 5 Sk + 6 .
Cette no uve lle fo rmul e de séri e po ur rr
pe rmet d'en ca lcul e r les chiffres binaires
indé pe nda mme nt les un s des autres, ce
qui étonna tout le monde . Elle permet par
exe mpl e de ca lcul e r le milli a rdi è me
c hi ffre binaire de rc sans calcul er les précéde nts.
Noto ns bi e n que la no uve ll e fo rmule a
é té pro uvée ri go ure use me nt pa r un e
démo nstrati on au sens traditionnel. Fa ire
trava ille r l'o rdinate ur et généra li ser sans
prendre la pe ine de dé mo ntrer se révélera it catastro phiqu e . La nécess ité de
fa ire des dé mo nstrati o ns trad iti onnelles
n 'est contestée pa r pe rsonne.
L'o rdin a te ur produit des fa its math ématiques e n gra nde qu a ntité do nt o n
pe ut lui de mande r que ll es lo is les o rgani sent. Les régul arités re pé rées dev iend ro nt alo rs des théo rè mes s i o n ré uss it
à les dé mo ntre r, ou sero nt des co nj ectures s i o n n ' y pa rvie nt pas.
C'est ain s i qu ' e n ca lc ul ant avec l' aide
de progran1mes, les décimales des nombres
68 Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique
Mathématiques expérimentales
ta pis de je u le moin s d 'argent poss ible
e t donc d ' alle r droit au but.
Ce t e xe mple d 'expé rime ntation dans un
dessein didactique n'en est qu ' un parmi
une multitude d 'autres. L' idée n'est pas
no uve ll e e t ne fait qu e re pre ndre e n
) 'ada pta nt la propos iti o n de c réer des
Laboraloires de Ma/h ématiques, propos iti o n défe ndue pa r Émil e Bo re l e n
1904, soute nue de pui s par Jean Di e udo nné à propos de ) 'ense ig ne me nt de la
géomé tri e e t re pri se de no mbre use fo is
e n didactique des mathé matiques.
l'ordinateur producteur
de faits mathématiques
Un sec ond type d 'e xpé rim e nt a ti o ns
mathématiques est celui où l'on de mande
à l'o rdinate ur de produire un g ra nd
nombre de «faits mathé matiques» qu 'on
analyse e nsuite jusqu 'à y découvrir des
régul arités, qu ' il sera pe ut-être poss ibl e
de dé montre r. C 'es t a in s i qu ' un a mi
ma thé m a ti c ie n a redéc ou ve rt , il y a
que lques années par l'ex périme ntati o n
informatiqu e la stratég ie ass urant de
gagne r au Jeu de M ari e nbad (ou je u de
Nim) basée sur la Nim-additi o n .
Le re pé rage inform atique de régul ari -
tés dans des faits mathématiques énumérés
pa r la m achine adme t un cas pa rtic ulie r : la reche rc he de no uvell es fo rmules
par examen des chiffres décimaux qu 'elle
produit. La technique co ns iste à ca lcu -
le r avec un e préci s io n de plu s ie urs
di za ines de c hiffres di verses fo rmul es
e t à co mp a re r les rés ult a ts o bte nu s.
Lorsque les rés ultats de de ux formul es
coïncide nt , on essaie de dé mo ntre r l'égalité re pé rée. En pratique, po ur me ne r
très ra pide me nt de no mbre uses compara isons, des a lgorithmes spéciaux sont
utili sés.
La plu s fa meuse découve11e obte nue par
Simon Plouffe.
cette mé th ode est ce ll e que fit Simo n
Pl o uffe e n 1995 de l' éga lité:
' 1 ( 4
2
1
1 )
:rr = h, 16' 8k + 1 8k + 4 8k + 5 Sk + 6 .
Cette no uve lle fo rmul e de séri e po ur rr
pe rmet d'en ca lcul e r les chiffres binaires
indé pe nda mme nt les un s des autres, ce
qui étonna tout le monde . Elle permet par
exe mpl e de ca lcul e r le milli a rdi è me
c hi ffre binaire de rc sans calcul er les précéde nts.
Noto ns bi e n que la no uve ll e fo rmule a
é té pro uvée ri go ure use me nt pa r un e
démo nstrati on au sens traditionnel. Fa ire
trava ille r l'o rdinate ur et généra li ser sans
prendre la pe ine de dé mo ntrer se révélera it catastro phiqu e . La nécess ité de
fa ire des dé mo nstrati o ns trad iti onnelles
n 'est contestée pa r pe rsonne.
L'o rdin a te ur produit des fa its math ématiques e n gra nde qu a ntité do nt o n
pe ut lui de mande r que ll es lo is les o rgani sent. Les régul arités re pé rées dev iend ro nt alo rs des théo rè mes s i o n ré uss it
à les dé mo ntre r, ou sero nt des co nj ectures s i o n n ' y pa rvie nt pas.
C'est ain s i qu ' e n ca lc ul ant avec l' aide
de progran1mes, les décimales des nombres
68 Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique