Chacu n des exemples des usages de l'info nnatique en mathématiques qui sui vent
illustrera un aspect de ces jeux ex péri -
mentaux dont l' importance va e n s ' accroissant au fur et à mesure que les outils
informatiques se perfecti onnent et se
diffusent.
L'ordinateur pour forger l'intuition
Tout d ' abord l'ordinateur sert à façonner l' intuition en créant une familiarité
avec des objets et situations qui ne peuvent être réalisées matériellement. C'est
la fo ncti on didactique de l' ex périmentation dont non seulement les é lèves et
les étudi ants peuvent bénéfic ier, mai s
dont le chercheur lui -même tirera profit.
Manipuler des billes aide à se construire
une image précise du monde des nombres
entiers ; réaliser des découpages en carton donne une compréhension affinée
de ce que sont les longue urs, les aires ,
les polyèdres , etc. De mê me , les simulati ons mass ives de tirages au hasard
qu'on peut effectuer avec un ordinateur
sont un bo n moyen de déve lo ppe r le
sens des probabilités.
Le Principe du jeu direct ( « bold play »)
affirme que «la méthode la plus efficace
de jeu pour passer de A euros à B euros
en jouant sur pa ir o u impa ir à la roule tt e s'ob ti e nt e n mi sa nt toujours
- par exemple sur pair - la somme max imale possible, sans dépasser le but visé».
Par exemple : pour passer de I OO euros
à 1 000 euros : mi sez 100 si vous avez
IOO, misez 300 si vo us avez 300 , misez
400 si vo us avez 600, etc .
Ce princ ipe, démontré par Dubbins et
Savage en 1956, est diffic ile à établir
rigoureusement. En revanche il est fac ile
à mettre à l'épreuve expérimentalement.
Il suffit d ' essayer toutes sortes de stratég ies de jeu non conformes au PrinPOUR LES MATHS
les démonstrations ne servent qu'à
convaincre de ce qu'on observe ?
Godfrey Hardy
(1877-1947).
Le mathématicien Godfrey Hardy (qui fit venir
Ramanujan en Europe)
formula en 1928, à une
époque où pourtant l'ordinateur n'était pas encore
entré dans le jeu, une idée étonnante :
« J'ai toujours considéré qu'un mathématicien était en
premier lieu un observateur, un homme qui, situé assez loin
de paysages montagneux, décrit ce qu'il y voit. [ .. .] L'analogie est un peu brutale, mais je suis certain qu'elle n'est
pas trompeuse. En la poussant à son extrême, nous arrivons à la conclusion plutôt paradoxale que nous pouvons,
en dernière analyse, nous contenter de noter ce que nous
observons ; que les démonstrations sont ce que Littlewood
et moi appelons des effets rhétoriques destinés à frapper
les esprits, des images sur un tableau lors d'une conférence, des trucs pour stimuler l'imagination des étudiants.
La vérité n'est pas exactement ainsi, mais ne s'en écarte
pas beaucoup. L'image donne une idée aussi bien de ce
qu'est la pédagogie mathématique que de ce qu'est la découverte mathématique. Il n'y a que les personnes étrangères
aux sciences et mal informées qui imaginent que les mathématiciens font des découvertes en tournant la manivelle
d 'une machine miraculeuse. L'image enfin de compte
donne une vision crue des démonstrations telles que les
concevait Hilbert, qui ne sont en réalité que certains arguments en faveur de leurs conclusions et dont le but est seulement de convaincre.»
cipe du j eu direct et de mesurer leur efficacité par simul ation , en comparant au
résultat donné par le j eu direct. La loi
dev ient petit à petit naturelle pour celui
qui réali se ces simulations. Il en compre nd la raison profonde : puisque les
tirages élémentaires sont défavorables au
joueur, son intérêt est de poser sur le
Hors-série n• 52. Mathématiques & informatique Tangente
illustrera un aspect de ces jeux ex péri -
mentaux dont l' importance va e n s ' accroissant au fur et à mesure que les outils
informatiques se perfecti onnent et se
diffusent.
L'ordinateur pour forger l'intuition
Tout d ' abord l'ordinateur sert à façonner l' intuition en créant une familiarité
avec des objets et situations qui ne peuvent être réalisées matériellement. C'est
la fo ncti on didactique de l' ex périmentation dont non seulement les é lèves et
les étudi ants peuvent bénéfic ier, mai s
dont le chercheur lui -même tirera profit.
Manipuler des billes aide à se construire
une image précise du monde des nombres
entiers ; réaliser des découpages en carton donne une compréhension affinée
de ce que sont les longue urs, les aires ,
les polyèdres , etc. De mê me , les simulati ons mass ives de tirages au hasard
qu'on peut effectuer avec un ordinateur
sont un bo n moyen de déve lo ppe r le
sens des probabilités.
Le Principe du jeu direct ( « bold play »)
affirme que «la méthode la plus efficace
de jeu pour passer de A euros à B euros
en jouant sur pa ir o u impa ir à la roule tt e s'ob ti e nt e n mi sa nt toujours
- par exemple sur pair - la somme max imale possible, sans dépasser le but visé».
Par exemple : pour passer de I OO euros
à 1 000 euros : mi sez 100 si vous avez
IOO, misez 300 si vo us avez 300 , misez
400 si vo us avez 600, etc .
Ce princ ipe, démontré par Dubbins et
Savage en 1956, est diffic ile à établir
rigoureusement. En revanche il est fac ile
à mettre à l'épreuve expérimentalement.
Il suffit d ' essayer toutes sortes de stratég ies de jeu non conformes au PrinPOUR LES MATHS
les démonstrations ne servent qu'à
convaincre de ce qu'on observe ?
Godfrey Hardy
(1877-1947).
Le mathématicien Godfrey Hardy (qui fit venir
Ramanujan en Europe)
formula en 1928, à une
époque où pourtant l'ordinateur n'était pas encore
entré dans le jeu, une idée étonnante :
« J'ai toujours considéré qu'un mathématicien était en
premier lieu un observateur, un homme qui, situé assez loin
de paysages montagneux, décrit ce qu'il y voit. [ .. .] L'analogie est un peu brutale, mais je suis certain qu'elle n'est
pas trompeuse. En la poussant à son extrême, nous arrivons à la conclusion plutôt paradoxale que nous pouvons,
en dernière analyse, nous contenter de noter ce que nous
observons ; que les démonstrations sont ce que Littlewood
et moi appelons des effets rhétoriques destinés à frapper
les esprits, des images sur un tableau lors d'une conférence, des trucs pour stimuler l'imagination des étudiants.
La vérité n'est pas exactement ainsi, mais ne s'en écarte
pas beaucoup. L'image donne une idée aussi bien de ce
qu'est la pédagogie mathématique que de ce qu'est la découverte mathématique. Il n'y a que les personnes étrangères
aux sciences et mal informées qui imaginent que les mathématiciens font des découvertes en tournant la manivelle
d 'une machine miraculeuse. L'image enfin de compte
donne une vision crue des démonstrations telles que les
concevait Hilbert, qui ne sont en réalité que certains arguments en faveur de leurs conclusions et dont le but est seulement de convaincre.»
cipe du j eu direct et de mesurer leur efficacité par simul ation , en comparant au
résultat donné par le j eu direct. La loi
dev ient petit à petit naturelle pour celui
qui réali se ces simulations. Il en compre nd la raison profonde : puisque les
tirages élémentaires sont défavorables au
joueur, son intérêt est de poser sur le
Hors-série n• 52. Mathématiques & informatique Tangente