ACTIONS
Mathématiques expérimentales
les entiers inférieurs à :
5 X 2
60 :::: 5 ,764 X ]0
18 .
L'ordinateur assistant
aux capacités multiples
Récemment , des progrès ont été faits à
propos de ce qui est sans doute la plu s
ancienne conjecture mathématique: « il
n'ex iste aucun nombre parfait impair » .
Les nombres parfa its sont les nombres
qui c omme 6 o u 28 so nt égau x à la
somme de leurs di viseurs stricts :
6 = 1 + 2 + 3 ;28= 1 + 2 +4+7+ 14.
On conn aît auj o urd ' hui 4 8 no mbres
parfaits pairs, ce sont les nombres de
la forme 2
11
-
1
(2" - 1) avec 2" - 1 nombre
de Mersenne premier, mais aucun nombre
parfait impair. La rec he rc he infructue use de no mbres parfa its impa irs a
suggéré aux mathématiciens qu ' il n'existe
pas de nombre parfa it impair (c'est la
conjecture).
Depuis plus de deux millénaires la questi on est posée.
Les progrès à ce sujet mérite nt d 'être
mentio nnés car il s constituent un bon
exemple de ce que sont les interacti ons
entre mathématiciens et ordinate urs. Il s
consistent princ ipalement e n résultats
du type : s' il exi ste un no mbre parfa it
impair, il possède au mo ins F fac teurs
premiers, et est plus grand que N.
Le dernier résultat record de ce type est
dû à Pascal Ochen et Michae l Rao qui
ont établi que s' il ex iste des no mbres
parfaits impairs, il s possèdent au mo ins
101 facteurs dans leurs décompos itions
e n fac te urs pre mi e rs e t il s so nt plu s
grands que 10
1500 .
To ut cela a é té établi e n utili sant des
o rdinate urs, ma is pas d ' une mani ère
naïve e n fa isant dé fil e r les no mbres
impairs les un après les autres et en s' assurant qu'aucun n'est pas égal à la somme
de ses di viseurs propres (d ' ailleurs on ne
sa it pas fac toriser en temps acceptables
tous ces nombres). La méthode ex hausti ve, en l'état actue l de la technolog ie ,
ne pourrait même pas fa ire dé fil er tous
les no mbres jusqu 'à 10
25 .
La méthode utili sée par les chercheurs
s' intéressant aux nombres parfaits impairs
associe des raisonnements arithmétiques,
condui sant à des le mmes et théorèmes,
qui permettent de découper le problème
en cas qu 'on traite alors soigneusement ,
parfois en utili sant un ordinateur auque l
on confie par exemple un travail de factorisatio n. Le tout conduit à la concl usion via un raisonnement par l' absurde
qui serait d ' une taille colossale si on en
écri va it toutes les étapes.
Mê me lo rsqu ' il s ' ag it de tes te r des
conjectures , le mathémati c ien ex péri -
menta li ste do it fa ire preuve d ' inte lli -
ge nce, e t c ' es t e n e ntre mê la nt
ra isonnements usue ls et ca lcul s confiés
à la machine qu ' il avance . Notons encore
que dans l'exemple des nombres parfa its
impairs les calcul s pour obtenir les facto ri sati o ns nécessa ires aux étapes d u
ra isonneme nt s'appui ent sur des algorithmes résultants eux- mêmes de longues
recherches utilisant des théorèmes ayant
demandé des calculs in formatiques pour
leur mi se au po int.
Dans les mathé matiques ex périme ntales , l'ordinateur apparaît parfois comme
un simple exécuteur de corvées, dont
les résultats viennent s' in sérer à l' intéri e ur d ' une pre uve par a ill e urs complexe. De ux cas so nt cé lèbres de cet
usage au sein d ' un ra isonnement déli -
cat et di ffic ile.
Il s'ag it de la démonstra ti o n du théorème des quatre couleurs en 1976 (toute
carte peut être coloriée avec quatre couleurs sans q ue de ux pays vo isins portent la même couleur) et de la conjectu re
de Keple r dé mo ntrée e n 1998 (l' e mpi -
le me nt le plu s se rré qu e l' o n pui sse
Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique
Mathématiques expérimentales
les entiers inférieurs à :
5 X 2
60 :::: 5 ,764 X ]0
18 .
L'ordinateur assistant
aux capacités multiples
Récemment , des progrès ont été faits à
propos de ce qui est sans doute la plu s
ancienne conjecture mathématique: « il
n'ex iste aucun nombre parfait impair » .
Les nombres parfa its sont les nombres
qui c omme 6 o u 28 so nt égau x à la
somme de leurs di viseurs stricts :
6 = 1 + 2 + 3 ;28= 1 + 2 +4+7+ 14.
On conn aît auj o urd ' hui 4 8 no mbres
parfaits pairs, ce sont les nombres de
la forme 2
11
-
1
(2" - 1) avec 2" - 1 nombre
de Mersenne premier, mais aucun nombre
parfait impair. La rec he rc he infructue use de no mbres parfa its impa irs a
suggéré aux mathématiciens qu ' il n'existe
pas de nombre parfa it impair (c'est la
conjecture).
Depuis plus de deux millénaires la questi on est posée.
Les progrès à ce sujet mérite nt d 'être
mentio nnés car il s constituent un bon
exemple de ce que sont les interacti ons
entre mathématiciens et ordinate urs. Il s
consistent princ ipalement e n résultats
du type : s' il exi ste un no mbre parfa it
impair, il possède au mo ins F fac teurs
premiers, et est plus grand que N.
Le dernier résultat record de ce type est
dû à Pascal Ochen et Michae l Rao qui
ont établi que s' il ex iste des no mbres
parfaits impairs, il s possèdent au mo ins
101 facteurs dans leurs décompos itions
e n fac te urs pre mi e rs e t il s so nt plu s
grands que 10
1500 .
To ut cela a é té établi e n utili sant des
o rdinate urs, ma is pas d ' une mani ère
naïve e n fa isant dé fil e r les no mbres
impairs les un après les autres et en s' assurant qu'aucun n'est pas égal à la somme
de ses di viseurs propres (d ' ailleurs on ne
sa it pas fac toriser en temps acceptables
tous ces nombres). La méthode ex hausti ve, en l'état actue l de la technolog ie ,
ne pourrait même pas fa ire dé fil er tous
les no mbres jusqu 'à 10
25 .
La méthode utili sée par les chercheurs
s' intéressant aux nombres parfaits impairs
associe des raisonnements arithmétiques,
condui sant à des le mmes et théorèmes,
qui permettent de découper le problème
en cas qu 'on traite alors soigneusement ,
parfois en utili sant un ordinateur auque l
on confie par exemple un travail de factorisatio n. Le tout conduit à la concl usion via un raisonnement par l' absurde
qui serait d ' une taille colossale si on en
écri va it toutes les étapes.
Mê me lo rsqu ' il s ' ag it de tes te r des
conjectures , le mathémati c ien ex péri -
menta li ste do it fa ire preuve d ' inte lli -
ge nce, e t c ' es t e n e ntre mê la nt
ra isonnements usue ls et ca lcul s confiés
à la machine qu ' il avance . Notons encore
que dans l'exemple des nombres parfa its
impairs les calcul s pour obtenir les facto ri sati o ns nécessa ires aux étapes d u
ra isonneme nt s'appui ent sur des algorithmes résultants eux- mêmes de longues
recherches utilisant des théorèmes ayant
demandé des calculs in formatiques pour
leur mi se au po int.
Dans les mathé matiques ex périme ntales , l'ordinateur apparaît parfois comme
un simple exécuteur de corvées, dont
les résultats viennent s' in sérer à l' intéri e ur d ' une pre uve par a ill e urs complexe. De ux cas so nt cé lèbres de cet
usage au sein d ' un ra isonnement déli -
cat et di ffic ile.
Il s'ag it de la démonstra ti o n du théorème des quatre couleurs en 1976 (toute
carte peut être coloriée avec quatre couleurs sans q ue de ux pays vo isins portent la même couleur) et de la conjectu re
de Keple r dé mo ntrée e n 1998 (l' e mpi -
le me nt le plu s se rré qu e l' o n pui sse
Tangente Hors-série n°52. Mathématiques & informatique