POUR L'INFORMATIQUE
Svllogismes et carré logique
Les syllogismes sont des associations de trois propositions prises parmi quatre types possibles, notés par
les quatre premières voyelles : A, E, 1, O, qui sont aussi celles d'Aristote ! Ces propositions références
sont les suivantes, avec les notations ensembliste et booléenne, où x E X et y E P :
• Proposition A, universelle affirmative: Tout x est P; Vx x c P; x.(1- y)= 0
• Proposition E, universelle négative : Tout x est non-P; Vx x
• Proposition 1, particulière affirmative : Quelque x est P; 3x x c P; x.y ;il! 0
• Proposition 0, particulière négative: Quelque x est non-P; 3x x
propositions.
Subalterne CONTRADICTOIRE Subalterne
Des propositions peuvent s'opposer par leur quantité
(universelle ou particulière) et/ou leur qualité (affirmative ou négative). Chaque proposition de référence est ainsi
en opposition avec trois autres selon le schéma dit du
carré logique. Ces relations sont dénommées :
! /
"-.... l
Û s, , co~~
• contradictoires, pour opposition en quantité et qualité,
• contraires, pour des propositions universelles (V) opposées en qualité,
• subcontraires, pour des propositions particulières (3) opposées en qualité,
• subalternes, pour opposition en quantité.
Les syllogismes sont composés de deux propositions, appelées prémisses, ayant en commun un moyen terme,
et d'une proposition conclusive sans le moyen terme. Pour des prémisses données et supposées vraies, le
syllogisme valide la véracité de la conclusion. Il y a 4
3
= 64 propositions pour un syllogisme, 2 X 2 = 4 positions pour le moyen terme, donc en tout 4 X 64 = 256 structures potentielles de syllogismes. Mais seuls
vingt-quatre sont valides. Le célèbre syllogisme :
Tous les hommes sont mortels
Or Socrate est un homme
Donc Socrate est mortel
est constitué de trois propositions de type A, avec« homme» pour moyen terme. Un tel syllogisme est appelé
« barbara », car les voyelles correspondent aux types des propositions. De même, le syllogisme :
Tous les lecteurs de Tangente sont sympathiques
Certains mathématiciens ne sont pas sympathiques
Donc certains mathématiciens ne lisent pas Tangente
est de type « baroco ».
La contributio n de Boo le à la log ique
sy mbo lique se résume da ns les pro positi ons sui va ntes :
• la log ique peut être re mplacée par un
calcul qui « ne dépe nd pas de l' inte rprétati on des sy mbo les e mployés mais
seulement des lois qui régissent la manière
dont ces symboles sont combinés »,
• l' algèbre appliq uée aux no mbres pe ut
être éte ndue au x cl asses (ensemb les) ,
• les qu a tre propos ition s fond a m e ntales d ' Ari stote (voir e ncadré) pe uve nt
ê tre ex prim ées pa r d es é qu a ti o n s
a lgébriques,
Hors-série n° 52. Mathématiques & informatique Ta:n9ent:e
Svllogismes et carré logique
Les syllogismes sont des associations de trois propositions prises parmi quatre types possibles, notés par
les quatre premières voyelles : A, E, 1, O, qui sont aussi celles d'Aristote ! Ces propositions références
sont les suivantes, avec les notations ensembliste et booléenne, où x E X et y E P :
• Proposition A, universelle affirmative: Tout x est P; Vx x c P; x.(1- y)= 0
• Proposition E, universelle négative : Tout x est non-P; Vx x
• Proposition 0, particulière négative: Quelque x est non-P; 3x x
propositions.
Subalterne CONTRADICTOIRE Subalterne
Des propositions peuvent s'opposer par leur quantité
(universelle ou particulière) et/ou leur qualité (affirmative ou négative). Chaque proposition de référence est ainsi
en opposition avec trois autres selon le schéma dit du
carré logique. Ces relations sont dénommées :
! /
"-.... l
Û s, , co~~
• contradictoires, pour opposition en quantité et qualité,
• contraires, pour des propositions universelles (V) opposées en qualité,
• subcontraires, pour des propositions particulières (3) opposées en qualité,
• subalternes, pour opposition en quantité.
Les syllogismes sont composés de deux propositions, appelées prémisses, ayant en commun un moyen terme,
et d'une proposition conclusive sans le moyen terme. Pour des prémisses données et supposées vraies, le
syllogisme valide la véracité de la conclusion. Il y a 4
3
= 64 propositions pour un syllogisme, 2 X 2 = 4 positions pour le moyen terme, donc en tout 4 X 64 = 256 structures potentielles de syllogismes. Mais seuls
vingt-quatre sont valides. Le célèbre syllogisme :
Tous les hommes sont mortels
Or Socrate est un homme
Donc Socrate est mortel
est constitué de trois propositions de type A, avec« homme» pour moyen terme. Un tel syllogisme est appelé
« barbara », car les voyelles correspondent aux types des propositions. De même, le syllogisme :
Tous les lecteurs de Tangente sont sympathiques
Certains mathématiciens ne sont pas sympathiques
Donc certains mathématiciens ne lisent pas Tangente
est de type « baroco ».
La contributio n de Boo le à la log ique
sy mbo lique se résume da ns les pro positi ons sui va ntes :
• la log ique peut être re mplacée par un
calcul qui « ne dépe nd pas de l' inte rprétati on des sy mbo les e mployés mais
seulement des lois qui régissent la manière
dont ces symboles sont combinés »,
• l' algèbre appliq uée aux no mbres pe ut
être éte ndue au x cl asses (ensemb les) ,
• les qu a tre propos ition s fond a m e ntales d ' Ari stote (voir e ncadré) pe uve nt
ê tre ex prim ées pa r d es é qu a ti o n s
a lgébriques,
Hors-série n° 52. Mathématiques & informatique Ta:n9ent:e