SAVOIRS
Algèbre de Boole
• la va lidité des sy llog ismes pe ut ê tre
établie par un calcul algébrique sur ces
équ ati o ns.
Le systè me de Boole re pose sur l' utili -
satio n de lettres po ur dés igne r les o bjets
et de symboles po ur traduire les relations e ffectuées par la pe nsée e ntre ces
obje ts . La conjonction des te rmes, qui
correspond au « et » , est sy mboli sée par
la multipli cati o n , e t la di sjoncti o n , po ur
le « o u » exc lu sif, par l'additi o n .
Les syllogismes en équations
L'a lgèbre de Boole re pose sur des proprié tés fond ame ntales, dont l'associ ativité, la commutativité, x .y = y .x, la
di stributivité, x .(y + z) = (x .y) + (x .z)
e t une loi d ' ide mpo te nce x
2
= x, spéc ifique à cette algèbre.
En notant I la cl asse universelle, ou uni -
ve rs du di scours, e t O la c lasse v ide,
Référence
alors I est un é lé me nt ne utre, 1 .x = x e t
• Paul Gochet, Pascal
O est un absorbant , 0 .x = O.
Gribomont , Logique,
L'a lgèbre de Bool e vé rifi e le princ ipe
méthodes pour
de dualité: to ut théorè me deme ure vra i
l'info rmatique
quand les symbo les « . » e t « + », a in s i
fonda mentale , Hermès. que les é lé me nts ne utres O e t I so nt
échangés dans l'éno ncé. Les rés ultats
multipli ca ti fs précéd e nt s so nt a in s i
va labl es po ur l' additio n e t l' ide mpote nce s'écrit : x + x = x.
En notant x la cl asse complé me ntaire
de x , le princ ipe de co nt radi cti o n des
Mé taphys ic ie ns, qui affirme impossible
po ur un o bjet de posséde r et ne pas posséde r une qualité, s'écrit x.x = O. Avec
le princ ipe de du a lité, no us o bte no ns
l' ex press io n x + x = 1, qui n ' est autre
que le princ ipe du ti e rs excl u : un objet
appa rtie nt à la cl asse x o u à son complé me ntaire . Boole e n tirera son ex press io n du compl é me nta ire additi f:
x = 1 - x , qui pe rmet d ' ide ntifie r principe de contradiction et loi d' idempotence:
x
2 =x<=>x.( l - x)=x .x =0.
Pa r le « prin c ipe de t ra nsfert » , q u i
« reli e » log ique e t algèbre fo rme lle , o n
pe ut é tablir algébrique me nt le théorème
d ' absorptio n : a + a . b = a . ( 1 + b) = a .
-
-
gan , a + b = a . b e t a. b = a + b , vo us
avez tous les éléments pour simplifier une
expressio n telle que E = a .b + a .c + b .c
en E = a. b+ a.c.
Avec son algèbre, Boole pe ut mettre en
équati o ns les quatre propos iti ons référe nces d ' Ari stote. Le sy ll og isme correspo nd alo rs à la rédu c ti o n de de ux
équa ti o ns (l es pré mi sses) à une seul e
(la conclus io n) e n éliminant la va ri able
moyen terme.
L'algèbre de Boo le a tro uvé naturellement un domaine d'appkation en sciences
info rmatiques do nt la logique repose sur
un systè me binaire.
Iro ni e de l ' hi sto ire , la log iqu e po ur
laquelle s'est pass io nné George Boo le
a causé sa pe rte ! Aya nt pri s fro id , il
me urt d ' une pn e umo ni e a près qu e sa
fe mme Mary, croyant au principe d ' analog ie (théori e à la log ique di scutabl e) ,
l'ait as pe rgé d 'eau po ur le guéri r.
F. L.
46 Tangente Hors-série n °52. Mathématiques & informatique
Algèbre de Boole
• la va lidité des sy llog ismes pe ut ê tre
établie par un calcul algébrique sur ces
équ ati o ns.
Le systè me de Boole re pose sur l' utili -
satio n de lettres po ur dés igne r les o bjets
et de symboles po ur traduire les relations e ffectuées par la pe nsée e ntre ces
obje ts . La conjonction des te rmes, qui
correspond au « et » , est sy mboli sée par
la multipli cati o n , e t la di sjoncti o n , po ur
le « o u » exc lu sif, par l'additi o n .
Les syllogismes en équations
L'a lgèbre de Boole re pose sur des proprié tés fond ame ntales, dont l'associ ativité, la commutativité, x .y = y .x, la
di stributivité, x .(y + z) = (x .y) + (x .z)
e t une loi d ' ide mpo te nce x
2
= x, spéc ifique à cette algèbre.
En notant I la cl asse universelle, ou uni -
ve rs du di scours, e t O la c lasse v ide,
Référence
alors I est un é lé me nt ne utre, 1 .x = x e t
• Paul Gochet, Pascal
O est un absorbant , 0 .x = O.
Gribomont , Logique,
L'a lgèbre de Bool e vé rifi e le princ ipe
méthodes pour
de dualité: to ut théorè me deme ure vra i
l'info rmatique
quand les symbo les « . » e t « + », a in s i
fonda mentale , Hermès. que les é lé me nts ne utres O e t I so nt
échangés dans l'éno ncé. Les rés ultats
multipli ca ti fs précéd e nt s so nt a in s i
va labl es po ur l' additio n e t l' ide mpote nce s'écrit : x + x = x.
En notant x la cl asse complé me ntaire
de x , le princ ipe de co nt radi cti o n des
Mé taphys ic ie ns, qui affirme impossible
po ur un o bjet de posséde r et ne pas posséde r une qualité, s'écrit x.x = O. Avec
le princ ipe de du a lité, no us o bte no ns
l' ex press io n x + x = 1, qui n ' est autre
que le princ ipe du ti e rs excl u : un objet
appa rtie nt à la cl asse x o u à son complé me ntaire . Boole e n tirera son ex press io n du compl é me nta ire additi f:
x = 1 - x , qui pe rmet d ' ide ntifie r principe de contradiction et loi d' idempotence:
x
2 =x<=>x.( l - x)=x .x =0.
Pa r le « prin c ipe de t ra nsfert » , q u i
« reli e » log ique e t algèbre fo rme lle , o n
pe ut é tablir algébrique me nt le théorème
d ' absorptio n : a + a . b = a . ( 1 + b) = a .
-
-
gan , a + b = a . b e t a. b = a + b , vo us
avez tous les éléments pour simplifier une
expressio n telle que E = a .b + a .c + b .c
en E = a. b+ a.c.
Avec son algèbre, Boole pe ut mettre en
équati o ns les quatre propos iti ons référe nces d ' Ari stote. Le sy ll og isme correspo nd alo rs à la rédu c ti o n de de ux
équa ti o ns (l es pré mi sses) à une seul e
(la conclus io n) e n éliminant la va ri able
moyen terme.
L'algèbre de Boo le a tro uvé naturellement un domaine d'appkation en sciences
info rmatiques do nt la logique repose sur
un systè me binaire.
Iro ni e de l ' hi sto ire , la log iqu e po ur
laquelle s'est pass io nné George Boo le
a causé sa pe rte ! Aya nt pri s fro id , il
me urt d ' une pn e umo ni e a près qu e sa
fe mme Mary, croyant au principe d ' analog ie (théori e à la log ique di scutabl e) ,
l'ait as pe rgé d 'eau po ur le guéri r.
F. L.
46 Tangente Hors-série n °52. Mathématiques & informatique